Question

如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)D是⊙O上的一點(diǎn)，點(diǎn)C是弧AD的中點(diǎn)，弦CE⊥AB于F．GD是⊙O的切線，且與EC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G，連接AD，交CE于點(diǎn)P．
（Ⅰ）證明：△ACD∽△APC；
（Ⅱ）若GD=

2

+1，GC=1，求PE的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段

專題：選作題,立體幾何

分析：（Ⅰ）證明

AC

=

CD

=

AE

，可得∠ACE=∠ADC，利用∠CAP為公共角，可得△ACD∽△APC；
（Ⅱ）證明∠GED=∠ADE=∠CDA，可得∠GPD=∠GDP，所以GP=GD=

2

+1，利用GD²=GC•GE，求出GE，即可求PE的長(zhǎng)．

解答： （Ⅰ）證明：∵AB為⊙O的直徑，CE⊥AB，
∴

AC

=

AE

∵點(diǎn)C是弧AD的中點(diǎn)，
∴

AC

=

CD

=

AE

，
∴∠ACE=∠ADC，
∴∠CAP為公共角，
∴△ACD∽△APC；
（Ⅱ）解：連接DE，
∵GD是⊙O的切線，
∴∠GDX=∠CED，
∵

AC

=

CD

=

AE

，
∴∠GED=∠ADE=∠CDA，
∴∠GPD=∠GDP，
∴GP=GD=

2

+1，
∵GD²=GC•GE，
∴GE=3+2

2

，
∴PE=GE-GP=2+

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題是圓的綜合題，其中涉及到切線的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)及定理是解決本題的關(guān)鍵．