Question

在△ABC中，∠C=90°，P為三角形內(nèi)一點且S_△PAB=S_△PBC=S_△PCA，則

PA2+PB2

PC2

=（　�。�

• A、2
• B、

  3

• C、2

  5

• D、5

Answer 1

考點：三角形的面積公式

專題：綜合題,解三角形

分析：確定P是Rt△ABC的重心，利用三角形中線公式，可得PA²+PB²=5PC²，從而可得結(jié)論．

解答： 解：已知△ABC是直角三角形，AB為斜邊，記AB=c，BC=a，CA=b，則有c²=a²+b²．
∵S_△PAB=S_△PBC=S_△PCA，
∴P是Rt△ABC的重心．
設(shè)m_c，m_a，mb分別表示Rt△ABC的對應(yīng)邊AB，BC，CA上的中線，則有
PC=

2mc

3

，PA=

2ma

3

，PB=

2mb

3

．
而三角形中線公式為4（mc）²=2a²+2b²-c²=c²，
4（ma）²=2b²+2c²-a²，4（mb）²=2c²+2a²-b²．
∴4（ma）²+4（mb）²=5c²，
∴4（ma）²+4（mb）²=20（mc）²，
∴PA²+PB²=5PC²，
∴

PA2+PB2

PC2

=5，
故選：D．

點評：本題考查三角形面積的計算，考查三角形中線公式，考查學生的計算能力，屬于中檔題．