Question

18．P為橢圓$\frac{{y}^{2}}{5}$+$\frac{{x}^{2}}{4}$=1上的一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)，且∠F₁PF₂=30°．
（1）求△F₁PF₂的周長；
（2）求|PF₁|•|PF₂|；
（3）求△F₁PF₂的面積．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的定義可得：△F₁PF₂的周長=2a+2c．
（2）設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，m+n=2$\sqrt{5}$．在△F₁PF₂中，由余弦定理可得：4c²=m²+n²-2mncos30°，代入化簡整理即可得出．
（3）利用（2）及其△F₁PF₂的面積S=$\frac{1}{2}mn$sin30°，即可得出．

解答 解：（1）∵P為橢圓$\frac{{y}^{2}}{5}$+$\frac{{x}^{2}}{4}$=1上的一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)，
∴△F₁PF₂的周長=2a+2c=$2\sqrt{5}$+2．
（2）設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，
m+n=2$\sqrt{5}$．
在△F₁PF₂中，由余弦定理可得：4c²=m²+n²-2mncos30°=（m+n）²-2mn-$\sqrt{3}$mn，
化為4=$（2\sqrt{5}）^{2}$-mn$（2+\sqrt{3}）$，
解得mn=16$（2-\sqrt{3}）$．
（3）△F₁PF₂的面積S=$\frac{1}{2}mn$sin30°=4（2-$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、余弦定理、三角形的面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．