Question

3．某地氣中出現(xiàn)污染，須噴灑一定量的去污劑進(jìn)行處理．據(jù)測(cè)算，每噴灑1個(gè)單位的去污劑，空氣中釋放的濃度y（單位：毫克/立方米）隨著時(shí)間x（單位：天）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為$y=\left\{\begin{array}{l}\frac{16}{8-x}-1，0≤x≤4\\ 5-\frac{1}{2}x，4＜x≤10\end{array}\right.$，若多次噴灑，則某一時(shí)刻空氣中的去污劑濃度為每次投放的去污劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和．由實(shí)驗(yàn)知，當(dāng)空氣中去污劑的濃度不低于4（毫克/立方米）時(shí)，它才能起到去污作用．
（Ⅰ）若一次噴灑4個(gè)單位的去污劑，則去污時(shí)間可達(dá)幾天？
（Ⅱ）若第一次噴灑2個(gè)單位的去污劑，6天后再噴灑a（1≤a≤4）個(gè)單位的去污劑，要使接下來(lái)的4天中能夠持續(xù)有效去污，試求a的最小值（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：$\sqrt{2}$取1.4）．

Answer 1

分析 （1）利用已知可得：一次噴灑4個(gè)單位的凈化劑，濃度f(wàn)（x）=4y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{64}{8-x}-4，0≤x≤4}\\{20-2x，4＜x≤10}\end{array}\right.$，分類討論解出f（x）≥4即可；
（2）設(shè)從第一次噴灑起，經(jīng)x（6≤x≤10）天，可得濃度g（x）=2（5-$\frac{1}{2}$x）+a[$\frac{16}{8-（x-6）}$-1]，變形利用基本不等式即可得出．

解答 解：（1）∵一次噴灑4個(gè)單位的凈化劑，
∴濃度f(wàn)（x）=4y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{64}{8-x}-4，0≤x≤4}\\{20-2x，4＜x≤10}\end{array}\right.$
則當(dāng)0≤x≤4時(shí)，由$\frac{64}{8-x}$-4≥4，
解得x≥0，∴此時(shí)0≤x≤4．
當(dāng)4＜x≤10時(shí)，由20-2x≥4，解得x≤8，
∴此時(shí)4＜x≤8．
綜合得0≤x≤8，
若一次投放4個(gè)單位的制劑，則有效凈化時(shí)間可達(dá)8天．
（2）設(shè)從第一次噴灑起，經(jīng)x（6≤x≤10）天，
濃度g（x）=2（5-$\frac{1}{2}$x）+a[$\frac{16}{8-（x-6）}$-1]=（14-x）+$\frac{16a}{14-x}$-a-4
∵14-x∈[4，8]，而1≤a≤4，
∴4$\sqrt{a}$∈[4，8]，
故當(dāng)且僅當(dāng)14-x=4$\sqrt{a}$時(shí)，y有最小值為8$\sqrt{a}$-a-4．
令8$\sqrt{a}$-a-4≥4，
解得24-16$\sqrt{2}$≤a≤4，
∴a的最小值為24-16$\sqrt{2}$≈1.6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)的意義與性質(zhì)、基本不等式、分類討論等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了分析問(wèn)題和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，屬于難題．