Question

已知函數(shù)f（x）=（1-x）e^x-1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最大值；
（Ⅱ）設(shè)g(x)=

f(x)

x

，證明g（x）有最大值g（t），且-2＜t＜-1．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先求出f′（x），從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出函數(shù)的最值；
（Ⅱ）先求出g（x），g′（x）．設(shè)h（x）=-（x²-x+1）e^x+1，則h′（x）=-x（x+1）e^x又h（-2）=1-

7

e2

＞0，h（-1）=1-

3

e

＜0，h（0）=0，從而h（x）在（-2，-1）有零點(diǎn)，找出函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出函數(shù)g（x）的最值，從而解決問題．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=-xe^x．
當(dāng)x∈（-∞，0）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（0，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
所以f（x）的最大值為f（0）=0．
（Ⅱ）g（x）=

(1-x)ex-1

x

，g′（x）=

-(x2-x+1)ex+1

x2

．
設(shè)h（x）=-（x²-x+1）e^x+1，則h′（x）=-x（x+1）e^x．
當(dāng)x∈（-∞，-1）時，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（-1，0）時，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（0，+∞）時，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減．
又h（-2）=1-

7

e2

＞0，h（-1）=1-

3

e

＜0，h（0）=0，
所以h（x）在（-2，-1）有一零點(diǎn)t．
當(dāng)x∈（-∞，t）時，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（t，0）時，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減．
由（Ⅰ）知，當(dāng)x∈（-∞，0）時，g（x）＞0；當(dāng)x∈（0，+∞）時，g（x）＜0．
因此g（x）有最大值g（t），且-2＜t＜-1．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道綜合題．