如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，∥，，平面⊥底面，為的中點，是棱上的點，，，．

（Ⅰ）求證：平面⊥平面；
（Ⅱ）若為棱的中點，求異面直線與所成角的余弦值.

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）異面直線與所成角的余弦值為

解析試題分析：（Ⅰ）證兩平面垂直，先證一個面內的一條直線垂直另一個平面.
在本題中可證得：平面，也可證：⊥平面．
（Ⅱ）法一、由（Ⅰ）題可得：直線、、兩兩垂直，故可以為原點建立空間直角坐標系，利用空間向量求異面直線與所成角的余弦值．
法二、可過作的平行線，從而將異面直線與所成角轉化相交直線所成的角.
試題解析：（Ⅰ）法一：為的中點，
又即
∴四邊形為平行四邊形，
     即
又∵平面平面  且平面平面
平面
又平面，∴平面平面                    6分
法二：，，為的中點，∴且.
∴四邊形為平行四邊形，∴
∵ ∴即
∵  ∴ 
∵ ，
∴⊥平面．
∵ 平面，
∴平面⊥平面．               6分
（Ⅱ）∵，為的中點，
∴．
∵平面平面  且平面平面
∴平面．                                          8分
（注:不證明PQ⊥平面ABCD直接建系扣

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，側棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E為棱AA1的中點．

(1)證明：B1C1⊥CE；
(2)設點M在線段C1E上，且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為.求線段AM的長．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點E在線段PC上，PC⊥平面BDE．

(1) 證明：BD⊥平面PAC；
(2) 若AD＝2，當PC與平面ABCD所成角的正切值為時，求四棱錐P－ABCD的外接球表面積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖棱柱的側面是菱形，，D是的中點，證明：

（Ⅰ）∥面
（Ⅱ）平面平面.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐中，四邊形為矩形，為等腰三角形，，平面 平面，且，分別為和的中點．

（Ⅰ）證明：平面；
（Ⅱ）證明：平面平面；
（Ⅲ）求四棱錐的體積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

正方形與梯形所在平面互相垂直，，，點在線段上且不與重合。

（Ⅰ）當點M是EC中點時，求證：BM//平面ADEF；
（Ⅱ）當平面BDM與平面ABF所成銳二面角的余弦值為時，求三棱錐的體積.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐A-BCDE中，側面∆ADE是等邊三角形，底面BCDE是等腰梯形，且CD∥BE,DE=2，CD=4, ,M是DE的中點，F(xiàn)是AC的中點，且AC=4，

求證：（1）平面ADE⊥平面BCD;
(2)FB∥平面ADE.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知正三棱柱中，，，為上的動點.

（1）求五面體的體積；
（2）當在何處時，平面，請說明理由；
（3）當平面時，求證：平面平面.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，菱形的邊長為4，，.將菱形沿對角線折起，得到三棱錐，點是棱的中點，.

（1）求證：平面；
（2）求證：平面平面；
（3）求二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案