Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DC∥AB，∠BAD=90°，且AB=2AD=2DC=2PD=4，E為PA的中點．
（Ⅰ）證明：DE∥平面PBC；
（Ⅱ）證明：DE⊥平面PAB；
（Ⅲ）求三棱錐A-PBD的體積．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）設(shè)PB的中點為F，連結(jié)EF，CF，由已知條件得四邊形CDEF為平行四邊形，由此能證明DE∥平面PBC．
（Ⅱ）由已知得AB⊥PD，從而AB⊥平面PAD，由此能證明ED⊥平面PAB．
（3）由V_A-PBD=V_P-ABD，利用等積法能求出三棱錐A-PBD的體積．

解答： （Ⅰ）證明：設(shè)PB的中點為F，
連結(jié)EF，CF，∵E為PA的中點，∴EF∥AB，
又DC∥AB，∴EF∥DC，
∵EF=DC=

1

2

AB，
∴四邊形CDEF為平行四邊形，∴ED∥CF，
又ED不包含于平面PBC，∴CF?平面PBC，
故DE∥平面PBC．
（Ⅱ）證明：∵PD⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，
∴AB⊥PD，
又∵AB⊥AD，PD∩AD=D，
AD?平面PAD，PD?平面PAD，
∴AB⊥平面PAD，
ED?平面PAD，故ED⊥AB，
又PD=AD，E為PA的中點，故ED⊥PA，
PA∩AB=A，PA?平面PAB，
AB?平面PAB，∴ED⊥平面PAB．
（3）解：∵∠BAD=90°，
且AB=2AD=2DC=2PD=4，E為PA的中點．
∴PD=2，S_△ABD=

1

2

AB•AD=

1

2

×4×2=4，
∴V_A-PBD=V_P-ABD=

1

3

×PD×S△ABD=

8

3

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與閏面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．