Question

過(guò)拋物線y²=-8x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，它們到直線x=1的距離之和等于8，則這樣的直線（　　）

• A、有且僅有一條
• B、有且僅有兩條
• C、有無(wú)窮多條
• D、不存在

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：

分析：過(guò)拋物線y²=-8x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，先看直線AB斜率不存在時(shí)，求得它們到直線x=1的距離之和等于6，不符合題意；進(jìn)而設(shè)直線AB為y=k（x+2）與拋物線方程聯(lián)立消去y，進(jìn)而根據(jù)韋達(dá)定理表示出A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和，進(jìn)而求得k．得出結(jié)論．

解答： 解：根據(jù)拋物線方程可知2p=8，p=2，開口向左，
∴拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），
當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，直線AB方程為x=-2，則A，B到直線x=1的距離為3+3=6，不符合題意，
設(shè)直線AB的斜率為k，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則直線方程為y=k（x+2），帶入拋物線方程得k²x²+（4k²+8）x+4k²=0
∴x₁+x₂=-

4k2+8

k2

，
而A，B到直線x=1的距離之和為-x₁+（-x₁）+2=2+

4k2+8

k2

=8，
求得k=±2，
∴這樣的直線有且僅有兩條，
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系．解題的關(guān)鍵是利用轉(zhuǎn)換和化歸思想，通過(guò)方程的解來(lái)解決解析幾何的問(wèn)題．