【題目】如圖,某景區(qū)內(nèi)有一半圓形花圃,其直徑AB6,O是圓心,且OCAB.OC上有一座觀賞亭Q,其中∠AQC,.計劃在上再建一座觀賞亭P,記∠POBθ.

1)當(dāng)θ時,求∠OPQ的大;

2)當(dāng)∠OPQ越大時,游客在觀賞亭P處的觀賞效果越佳,求游客在觀賞亭P處的觀賞效果最佳時,角θ的正弦值.

【答案】1.2.

【解析】

1)設(shè)∠OPQα,在△POQ中,用正弦定理可得含α,θ的關(guān)系式,將其展開化簡并整理后得tanα,將θ代入得答案;

2)令f(θ)并利用導(dǎo)數(shù)求得f(θ)的最大值,即此時的,由(1)可知tanα,得答案.

1)設(shè)∠OPQα,在△POQ中,用正弦定理可得含α,θ的關(guān)系式.

因為∠AQC,所以∠AQO.OAOB3,所以OQ

在△OPQ中,OQ,OP3,∠POQθ,設(shè)∠OPQα,則∠PQOαθ.

由正弦定理,得,即sinαcos(αθ)

展開并整理,得tanα,其中θ.

此時當(dāng)θ時,tanα.因為α(0,π),所以α.

故當(dāng)θ時,∠OPQ.

2)設(shè)f(θ)θ.

f′(θ).

f′(θ)0,得sinθ,記銳角θ0滿足,

,即

列表如下:

θ

(0,θ0)

θ0

f′(θ)

0

f(θ)

單調(diào)遞增

單調(diào)遞減

由上表可知,f(θ0)是極大值,也是最大值.

由(1)可知tanαf(θ)>0,則 tanα單調(diào)遞增

則當(dāng)tanα取最大值時,α也取得最大值.

故游客在觀賞亭P處的觀賞效果最佳時,sinθ.

練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某學(xué)生參加4門學(xué)科的學(xué)業(yè)水平測試,每門得等級的概率都是,該學(xué)生各學(xué)科等級成績彼此獨立.規(guī)定:有一門學(xué)科獲等級加1分,有兩門學(xué)科獲等級加2分,有三門學(xué)科獲等級加3分,四門學(xué)科全獲等級則加5分,記表示該生的加分?jǐn)?shù), 表示該生獲等級的學(xué)科門數(shù)與未獲等級學(xué)科門數(shù)的差的絕對值.

(1)求的數(shù)學(xué)期望;

(2)求的分布列.

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【題目】三名工人加工同一種零件,他們在一天中的工作情況如圖所示,其中點的橫、縱坐標(biāo)分別為第名工人上午的工作時間和加工的零件數(shù),點的橫、縱坐標(biāo)分別為第名工人下午的工作時間和加工的零件數(shù),.為第名工人在這一天中加工的零件總數(shù),記為第名工人在這一天中平均加工的零件數(shù),則,中的最大值與,,中的最大值分別是(

A.B.,

C.D.,

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【題目】小趙和小王約定在早上7:007:15之間到某公交站搭乘公交車去上學(xué),已知在這段時間內(nèi),共有2班公交車到達該站,到站的時間分別為7:05,7:15,如果他們約定見車就搭乘,則小趙和小王恰好能搭乘同一班公交車去上學(xué)的概率為(

A. B. C. D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某無縫鋼管廠只生產(chǎn)甲、乙兩種不同規(guī)格的鋼管,鋼管有內(nèi)外兩個口徑,甲種鋼管內(nèi)外兩口徑的標(biāo)準(zhǔn)長度分別為,乙種鋼管內(nèi)外兩個口徑的標(biāo)準(zhǔn)長度分別為.根據(jù)長期的生產(chǎn)結(jié)果表明,兩種規(guī)格鋼管每根的長度都服從正態(tài)分布,長度在之外的鋼管為廢品,要回爐熔化,不準(zhǔn)流入市場,其他長度的鋼管為正品.

1)在該鋼管廠生產(chǎn)的鋼管中隨機抽取10根進行檢測,求至少有1根為廢品的概率;

2)監(jiān)管部門規(guī)定每種規(guī)格鋼管的“口徑誤差”的計算方式為:若鋼管的內(nèi)外兩個口徑實際長分別為,標(biāo)準(zhǔn)長分別為,則“口徑誤差”為,按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn),其中“一級品”“二級品”“合格品”的“口徑誤差”的范圍分別是(正品鋼管中沒有“口徑誤差”大于的鋼管),現(xiàn)分別從甲、乙兩種產(chǎn)品的正品中各隨機抽取100根,分別進行“口徑誤差”的檢測,統(tǒng)計后,繪制其頻率分布直方圖如圖所示:

    甲種鋼管               乙種鋼管

已知經(jīng)銷商經(jīng)銷甲種鋼管,其中“一級品”的利潤率為0.3,“二級品”的利潤率為0.18,“合格品”的利潤率為0.1;經(jīng)銷乙種鋼管,其中“一級品”的利潤率為0.25,“二級品”的利潤率為0.15,“合格品”的利潤率為0.08,若視頻率為概率.

(。┤艚(jīng)銷商對甲、乙兩種鋼管各進了100萬元的貨,分別表示經(jīng)銷甲、乙兩種鋼管所獲得的利潤,求的數(shù)學(xué)期望和方差,并由此分析經(jīng)銷商經(jīng)銷兩種鋼管的利弊;

(ⅱ)若經(jīng)銷商計劃對甲、乙兩種鋼管總共進100萬元的貨,則分別在甲、乙兩種鋼管上進貨多少萬元時,可使得所獲利潤的方差和最。

附:若隨機變量服從正態(tài)分布,則,,,.

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【題目】某公園要設(shè)計如圖所示的景觀窗格(其結(jié)構(gòu)可以看成矩形在四個角處對稱地截去四個全等的三角形所得,如圖二中所示多邊形),整體設(shè)計方案要求:內(nèi)部井字形的兩根水平橫軸米,兩根豎軸米,記景觀窗格的外框(如圖二實線部分,軸和邊框的粗細(xì)忽略不計)總長度為米.

(1)若,且兩根橫軸之間的距離為米,求景觀窗格的外框總長度;

(2)由于預(yù)算經(jīng)費限制,景觀窗格的外框總長度不超過米,當(dāng)景觀窗格的面積(多邊形的面積)最大時,給出此景觀窗格的設(shè)計方案中的大小與的長度.

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(1)當(dāng)M,D重合時,求路燈在路面的照明寬度MN;

(2)求此路燈在路面上的照明寬度MN的最小值.

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【題目】如圖,在四棱錐中,平面,底面為正方形,且.若四棱錐的每個頂點都在球的球面上,則球的表面積的最小值為_____;當(dāng)四棱錐的體積取得最大值時,二面角的正切值為_______.

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(1)求第六組、第七組的頻率,并估計高三年級全體男生身高在以上(含)的人數(shù);

(2)學(xué)校決定讓這五十人在運動會上組成一個高旗隊,在這五十人中要選身高在以上(含)的兩人作為隊長,求這兩人在同一組的概率.

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同步練習(xí)冊答案