Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，直線y=4與y軸的交點為P，與C的交點為Q，且|QF|=

5

4

|PQ|．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）過F的直線l與C相交于A、B兩點，若AB的垂直平分線l′與C相交于M、N兩點，且A、M、B、N四點在同一圓上，求l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設(shè)點Q的坐標為（x₀，4），把點Q的坐標代入拋物線C的方程，求得x₀=

8

p

，根據(jù)|QF|=

5

4

|PQ|求得 p的值，可得C的方程．
（Ⅱ）設(shè)l的方程為 x=my+1 （m≠0），代入拋物線方程化簡，利用韋達定理、中點公式、弦長公式求得弦長|AB|．把直線l′的方程代入拋物線方程化簡，利用韋達定理、弦長公式求得|MN|．由于MN垂直平分線段AB，故AMBN四點共圓等價于|AE|=|BE|=

1

2

|MN|，由此求得m的值，可得直線l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)點Q的坐標為（x₀，4），把點Q的坐標代入拋物線C：y²=2px（p＞0），
可得x₀=

8

p

，∵點P（0，4），∴|PQ|=

8

p

．
又|QF|=x₀+

p

2

=

8

p

+

p

2

，|QF|=

5

4

|PQ|，
∴

8

p

+

p

2

=

5

4

×

8

p

，求得 p=2，或 p=-2（舍去）．
故C的方程為 y²=4x．
（Ⅱ）由題意可得，直線l和坐標軸不垂直，y²=4x的焦點F（1，0），
設(shè)l的方程為 x=my+1（m≠0），
代入拋物線方程可得y²-4my-4=0，顯然判別式△=16m²+16＞0，y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-4．
∴AB的中點坐標為D（2m²+1，2m），弦長|AB|=

m2+1

|y₁-y₂|=

m2+1

(y1+y2)2-4y1y2

=4（m²+1）．
又直線l′的斜率為-m，∴直線l′的方程為 x=-

1

m

y+2m²+3．
過F的直線l與C相交于A、B兩點，若AB的垂直平分線l′與C相交于M、N兩點，
把線l′的方程代入拋物線方程可得 y²+

4

m

y-4（2m²+3）=0，∴y₃+y₄=

-4

m

，y₃•y₄=-4（2m²+3）．
故線段MN的中點E的坐標為（

2

m2

+2m²+3，

-2

m

），∴|MN|=

1+ 1 m2

|y₃-y₄|=

4(m2+1)• 2m2+1

m2

，
∵MN垂直平分線段AB，故AMBN四點共圓等價于|AE|=|BE|=

1

2

|MN|，
∴

1

4

•AB2+DE²=

1

4

MN²，
∴4（m²+1）² +(2m+

2

m

)2+(

2

m2

+2)2=

1

4

×

16•(m2+1)2•(2m2+1)

m4

，化簡可得 m²-1=0，
∴m=±1，∴直線l的方程為 x-y-1=0，或 x+y-1=0．

點評：本題主要考查求拋物線的標準方程，直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，韋達定理、弦長公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．