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【題目】已知橢圓：的離心率為，設直線過橢圓的上頂點和右焦點，坐標原點到直線的距離為2.

（1）求橢圓的方程.

（2）過點且斜率不為零的直線交橢圓于，兩點，在軸的正半軸上是否存在定點，使得直線，的斜率之積為非零的常數？若存在，求出定點的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）（2）存在，

【解析】

（1）.根據過橢圓的上頂點和右頂點，得到的方程為，根據點到直線的距離為2結合離心率求解.

（2）設直線的方程為，，.聯立方程組消去得，，將韋達定理代入上式研究與m無關即可.

（1）設橢圓的半焦距為，根據題意，得.

因為過橢圓的上頂點和右頂點，所以的方程為，即.

又由點到直線的距離為2，得，所以.

設，，則，解得，從而，

所以橢圓的方程為.

（2）依題意設直線的方程為，，.

聯立方程組，消去得，

，

所以，，

，

.

假設存在定點，使得直線，的斜率之積為非零常數，

則.

要使為非零常數，當且僅當，即時成立，

此時，，

所以軸的正半軸上存在定點，使得直線，的斜率之積為常數.

練習冊系列答案
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【題目】設函數．

（1）當時，求函數的極值；

（2）若對任意實數，當時，函數的最大值為，求實數的取值范圍．

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【題目】新《水污染防治法》已由中華人民共和國第十二屆全國人民代表大會常務委員會第二十八次會議于2017年6月27日通過，自2018年1月1日起施行．2018年3月1日，某縣某質檢部門隨機抽取了縣域內100眼水井，檢測其水質總體指標．

羅斯水質指數

02

24

46

68

810

水質狀況

腐敗污水

嚴重污染

污染

輕度污染

純凈

（1）求所抽取的100眼水井水質總體指標值的樣本平均數（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表）．

（2）①由直方圖可以認為，100眼水井水質總體指標值服從正態(tài)分布，利用該正態(tài)分布，求落在（5.21，5.99）內的概率；

②將頻率視為概率，若某鄉(xiāng)鎮(zhèn)抽查5眼水井的水質，記這5眼水井水質總體指標值位于（6，10）內的井數為，求的分布列和數學期望．

附：①計算得所抽查的這100眼水井總體指標的標準差為；

②若，則，．

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（1）討論函數的單調性；

（2）證明：若，則對于任意，不等式恒成立．

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（1）若直線過橢圓的右焦點，求的面積；

（2）若，試問橢圓上是否存在點，使得四邊形為平行四邊形?若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.

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【題目】如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，，為中點，點在上且平面，在延長線上，，交于，且.

（1）證明：平面；

（2）求點到平面的距離.

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（Ⅰ）若的一個焦點為，且點在上，求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知上有兩個動點，為坐標原點，且，求線段的最小值（用表示）.

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