Question

【題目】己知函數.

（1）當時，求曲線在處的切線方程：

（2）當>0時，求函數的單調區(qū)間和極值；

（3）當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 的單調遞增區(qū)間為,單調遞減區(qū)間為和.極小值為,極大值為；(3)

【解析】

(1)求出切點坐標,切線斜率,可得曲線在處的切線方程；
(2)求導函數,利用導數的正負,可得函數的單調區(qū)間,從而可得函數的極值；
(3)求出在區(qū)間上的最大值與最小值,利用當時,不等式

恒成立,再列出不等式求解即可.

(1) 當時,, ,

故.又,

故曲線在處的切線方程為,化簡得.

(2).

令有,.當時有,

故的單調遞增區(qū)間為,單調遞減區(qū)間為和.

當時取得極小值,

當時取得極大值.

(3)由(2),,

故在上單調遞減.

當時, ；當時, .故

又因為當時,不等式恒成立.故恒成立.

所以 解得.

故的范圍為.