Question

已知函數f（x）=x³-3ax²+2ax+1（a∈R）．
（Ⅰ）當a=-

3

8

時，求函數f（x）的單調遞增區(qū)間；
（Ⅱ） 當a＞0時，函數g（x）=f（x）+3-2ax在區(qū)間[1，2]上存在實數x，使得g（x）＜0成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：綜合題,分類討論,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）把a=-

3

8

代入函數解析式，解不等式f′（x）＞0即可；
（Ⅱ）在區(qū)間[1，2]上存在實數x，使得g（x）＜0成立，等價于x∈[1，2]時，g（x）_min＜0，而g（x）=x³-3ax²+4，g′（x）=3x²-6ax=3x（x-2a），令g′（x）=0可得x=0或x=2a，按照2a在區(qū)間的左側、內部、右側三種情況進行討論可得g（x）_min；

解答： 解：（Ⅰ）當a=-

3

8

時，函數為f（x）=x³+

9

8

x²-

3

4

x+1，
則由f′（x）=3x²+

9

4

x-

3

4

＞0，得x＜-1或x＞

1

4

，
∴函數f（x）的單調遞增區(qū)間為（-∞，-1），（

1

4

，∞）．
（Ⅱ）g（x）=x³-3ax²+4，則g′（x）=3x²-6ax=3x（x-2a），
令g′（x）=0，解得x=0或x=2a，
在區(qū)間[1，2]上存在實數x，使得g（x）＜0成立，等價于x∈[1，2]時，g（x）_min＜0，
（1）若0＜a≤

1

2

，在區(qū)間x∈[1，2]時，g′（x）≥0，即g（x）在區(qū)間[1，2]上單調遞增，
∴有g（x）_min=g（1）＜0，解得a＞

5

3

，不合題意；
（2）若

1

2

＜a＜1，在[1，2a]上函數g（x）單調遞減，在[2a，2]上函數g（x）單調遞增，
∴有g（x）_min=g（2a）＜0，解得a＞1，不合題意；
（3）若a≥1，當x∈[1，2]時，g′（x）≤0，即g（x）在區(qū)間[1，2]上單調遞減，
∴有g（x）_min=g（2）＜0，解得a＞1，∴a＞1；
綜上所述，a的取值范圍是（1，+∞）．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性、最值，考查“能成立”問題，考查分類討論思想、轉化思想，屬中檔題．