Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax⁵+bx³+c的圖象過(guò)點(diǎn)（0，1），當(dāng)x=1取得極值

13

15

．
（1）求f（x）；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)條件，建立方程關(guān)系即可求f（x）；
（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性以及極值關(guān)系，即可求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax⁵+bx³+c的圖象過(guò)點(diǎn)（0，1），
∴f（0）=c=1，即c=1，
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=5ax⁴+3bx²，
∵當(dāng)x=1取得極值

13

15

．
∴f（1）=

13

15

，且f′（1）=0．
即

a+b+1= 13 15 5a+3b=0

，解得a=

1

5

，b=-

1

3

，
則f（x）=

1

5

x⁵-

1

3

x³+1；
（2）∵f（x）=

1

5

x⁵-

1

3

x³+1；
∴f′（x）=x⁴-x²=x²（x²-1），
由f′（x）=x²（x²-1）=0，
解得x=0或x=1或x=-1，
當(dāng)x＜-1或x＞1時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，f′（x）≤0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，1），單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1）和（1，+∞），
且當(dāng)x=-1時(shí)函數(shù)取得極大值f（-1）=

13

15

，
當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)取得極小值f（1）=

17

15

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)條件求出a，b，c的值是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．