已知向量
m
=(sin
1
2
x,1),
n
=(4
3
cos
1
2
x,2cosx),設(shè)函數(shù)f(x)=
m
n

(1)求函數(shù)f(x)的解析式.
(2)求函數(shù)f(x),x∈[-π,π]的單調(diào)遞增區(qū)間.
(3)設(shè)函數(shù)h(x)=f(x)-k(k∈R)在區(qū)間[-π,π]上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為n,試探求n的值及對應(yīng)的k的取值范圍.
考點(diǎn):兩角和與差的正弦函數(shù),根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
專題:三角函數(shù)的求值
分析:(1)由條件利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式、三角恒等變換求得函數(shù)f(x)的解析式.
(2)令 2kπ-
π
2
≤x+
π
6
≤2kπ+
π
2
,k∈z,求得x的范圍,再結(jié)合x∈[-π,π]可得函數(shù)的增區(qū)間
(3)由題意可得函數(shù)y=f(x)的圖象和直線y=k在區(qū)間[-π,π]上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為n,結(jié)合函數(shù)f(x)的圖象可得結(jié)論.
解答: 解:(1)函數(shù)f(x)=
m
n
=4
3
sin
x
2
cos
x
2
+2cosx=2
3
sinx+2cosx=4sin(x+
π
6
).
(2)令 2kπ-
π
2
≤x+
π
6
≤2kπ+
π
2
,k∈z,求得  2kπ-
3
≤x≤2kπ+
π
3
,k∈z.
再結(jié)合x∈[-π,π]可得函數(shù)的增區(qū)間為[-
3
,
π
3
].
(3)∵函數(shù)h(x)=f(x)-k(k∈R)在區(qū)間[-π,π]上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為n,
即函數(shù)y=f(x)的圖象和直線y=k在區(qū)間[-π,π]上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為n,結(jié)合函數(shù)f(x)的圖象可得:
當(dāng)k>4,或 k<-4時(shí),n=0;
當(dāng)k=4,或 k=-4時(shí),n=1;
當(dāng)-4<k<-2,或-2<k<4時(shí),n=2;
當(dāng)k=-2時(shí),n=3.
點(diǎn)評:本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式,三角函數(shù)的恒等變換,正弦函數(shù)的單調(diào)性,方程根的存在性及個(gè)數(shù)判斷,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.
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已知函數(shù)f(x)=x3-3ax2+2ax+1(a∈R).
(Ⅰ)當(dāng)a=-
3
8
時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ) 當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)g(x)=f(x)+3-2ax在區(qū)間[1,2]上存在實(shí)數(shù)x,使得g(x)<0成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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已知函數(shù)f(x)=x3-ax-1,
(1)若函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)上單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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已知函數(shù)f(x)=2sin(x-
π
6
)sin(x+
π
3
),
π
6
≤x≤
12

(1)求函數(shù)f(x)的值域;
(2)若f(x)=
2
2
3
,求f(
x
2
+
π
4
)的值.

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甲乙兩個(gè)班級均為40人,進(jìn)行一門考試后,按學(xué)生考試成績及格與不及格進(jìn)行統(tǒng)計(jì),甲班及格人數(shù)為36人,乙班及格人數(shù)為24人.
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)寫出b,c,n;
(2)試判斷是否成績與班級是否有關(guān)?
不及格 及格 總計(jì)
甲班 4 b 40
乙班 c 24 40
    總計(jì) 20 60 n

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設(shè)函數(shù)f(x)=x3+ax2-a2x+m(a>0)
(1)求f(x)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)a=1時(shí),函數(shù)f(x)有三個(gè)互不相同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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