Question

設(shè)f（x）=ax³-

3

2

（a+2）x²+6x-3，x∈R，a是常數(shù)，且a＞0
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若f（x）在x=1時取得極大值，且直線y=-1與函數(shù)f（x）的圖象有三個交點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：分類討論,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）對f（x）求導(dǎo)，討論a取值，對應(yīng)f′（x）的正負情況，得出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）由題意，結(jié)合（1）知0＜a＜2，求出f（x）的極大值與極小值，建立不等式組，求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f(x)=ax3-

3

2

(a+2)x2+6x-3，
∴f′（x）=3ax²-3（a+2）x+6=3（ax-2）（x-1）；
①當(dāng)0＜a＜2時，

2

a

＞1，
由f′（x）=3（ax-2）（x-1）＞0，得x＜1或x＞

2

a

，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，1）和(

2

a

，+∞)；
②當(dāng)a=2時，f′（x）=6（x-1）²≥0恒成立，
且只有f′（1）=0，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，+∞）；
③當(dāng)a＞2時，有

2

a

＜1，
由f′（x）=3（ax-2）（x-1）＞0，得x＜

2

a

或x＞1，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞，

2

a

)和（1，+∞）；
（2）∵f（x）在x=1時取得極大值，
由（1）知，0＜a＜2，
∴f(x)|極大=f(1)=-

a

2

，
f(x)|極小=f(

2

a

)=-

4

a2

+

6

a

-3，
∵直線y=-1與函數(shù)f（x）的圖象有三個交點，
∴-

4

a2

+

6

a

-3＜-1＜-

a

2

，
解得0＜a＜1；
∴a的取值范圍是{a|0＜a＜2}．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用問題，解題時應(yīng)利用導(dǎo)數(shù)的正負來研究函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性來研究函數(shù)的極值，是綜合性題目．