Question

【題目】如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC，A1C⊥BC1，AB1⊥BC1，D，E分別是AB1和BC的中點(diǎn).

求證：(1)DE∥平面ACC1A1；

(2)AE⊥平面BCC1B1.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）連結(jié)A1B，可證出DE∥A1C，再由線面平行的判斷定理即可證出.

（2）由(1)知DE∥A1C，且A1C⊥BC1，可得BC1⊥DE，結(jié)合BC1⊥AB1，可證出BC1⊥平面ADE，由線面垂直的定義可證出AE⊥BC1，利用線面垂直的判斷定理即可證出結(jié)論.

連結(jié)A1B，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1∥BB1且AA1＝BB1，

所以四邊形AA1B1B是平行四邊形.

又因?yàn)?/span>D是AB1的中點(diǎn)，所以D也是BA1的中點(diǎn)．

在△BA1C中，D和E分別是BA1和BC的中點(diǎn)，所以DE∥A1C.

又因?yàn)?/span>DE平面ACC1A1，A1C平面ACC1A1，

所以DE∥平面ACC1A1.

(2)由(1)知DE∥A1C，因?yàn)?/span>A1C⊥BC1，所以BC1⊥DE.

又因?yàn)?/span>BC1⊥AB1，AB1DE＝D，AB1，DE平面ADE，所以BC1⊥平面ADE.

又因?yàn)?/span>AE平在ADE，所以AE⊥BC1.

在△ABC中，AB＝AC，E是BC的中點(diǎn)，所以AE⊥BC.

因?yàn)?/span>AE⊥BC1，AE⊥BC，BC1BC＝B，BC1，BC平面BCC1B1，所以AE⊥平面BCC1B1.