Question

3．已知△ABC中，AB邊上的中線|CM|=2，若動點P滿足$\overrightarrow{AP}$=sin²θ$\overrightarrow{AM}$+cos²θ$\overrightarrow{AC}$（θ∈R），給出下列命題：①對?θ∈R，?λ∈R，使得$\overrightarrow{CP}$=λ$\overrightarrow{CM}$；②當θ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）時，存在唯一的θ，使$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）；③動點P在運動的過程中，（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）•$\overrightarrow{PC}$的取值范圍為[-2，0]；④若|$\overrightarrow{AB}$|=2，動點P在運動的過程中，|$\overrightarrow{AP}$|²+|$\overrightarrow{BP}$|²+|$\overrightarrow{CP}$|²的最小值為$\frac{8}{3}$．以上命題中，其中正確命題的序號為①③．

Answer 1

分析 由給出的等式結合共線向量基本定理可得C、P、M共線，由此判斷①正確；
由給出的向量等式可知P為△ABC的重心，求出$si{n}^{2}θ=\frac{2}{3}$，結合θ范圍可得滿足條件的θ有兩個，判斷②錯誤；
由$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=2\overrightarrow{PM}$，得（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）•$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PC}$=2|$\overrightarrow{PM}$||$\overrightarrow{PC}$|cosπ=-2|$\overrightarrow{PM}$||$\overrightarrow{PC}$|，然后利用基本不等式求得（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）•$\overrightarrow{PC}$的取值范圍判斷③正確；
由已知求出|$\overrightarrow{AP}$|²+|$\overrightarrow{BP}$|²+|$\overrightarrow{CP}$|²的最小值說明④錯誤．

解答 解：∵動點P滿足$\overrightarrow{AP}$=sin²θ$\overrightarrow{AM}$+cos²θ$\overrightarrow{AC}$（θ∈R），且sin²θ+cos²θ=1，又∵cos²θ∈[0，1]，
∴P在線段CM上，則對?θ∈R，?λ∈R，使得$\overrightarrow{CP}$=λ$\overrightarrow{CM}$正確，命題①正確；
∵CM為AB邊上的中線，若$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），則P為△ABC的重心，此時$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{CM}$
=$\overrightarrow{AC}+\frac{2}{3}（\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AC}）=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$，∴$si{n}^{2}θ=\frac{2}{3}$，
∵θ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），∴$θ=±arcsin\frac{\sqrt{6}}{3}$，則命題②錯誤；
由判斷①的過程知，P、M、C三點共線，即點P在CM上，
而$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=2\overrightarrow{PM}$，故（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）•$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PC}$=2|$\overrightarrow{PM}$||$\overrightarrow{PC}$|cosπ=-2|$\overrightarrow{PM}$||$\overrightarrow{PC}$|，
∵|$\overrightarrow{PM}$|+|$\overrightarrow{PC}$|=CM=2，由基本不等式可得：
|$\overrightarrow{PM}$||$\overrightarrow{PC}$|≤$（\frac{|\overrightarrow{PM}|+|\overrightarrow{PC}|}{2}）^{2}=1$．
∴-2$|\overrightarrow{PM}|•|\overrightarrow{PC}|≥-2$，當P與M或C重合時（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）•$\overrightarrow{PC}$最大為0，命題③正確；
設$\overrightarrow{MP}=λ\overrightarrow{MC}$（0≤λ≤1），
則|$\overrightarrow{AP}$|²+|$\overrightarrow{BP}$|²+|$\overrightarrow{CP}$|² =$（λ\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MA}）^{2}+（λ\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MB}）^{2}+[（λ-1）\overrightarrow{MC}]^{2}$
=${λ}^{2}|\overrightarrow{MC}{|}^{2}-2λ\overrightarrow{MC}•\overrightarrow{MA}+|\overrightarrow{MA}{|}^{2}$$+{λ}^{2}|\overrightarrow{MC}{|}^{2}-2λ\overrightarrow{MC}•\overrightarrow{MB}+|\overrightarrow{MB}{|}^{2}$$+（λ-1）^{2}|\overrightarrow{MC}{|}^{2}$
=4λ²+1+4λ²+1+4（λ-1）²=12λ²-8λ+6．
當$λ=\frac{1}{3}$時，|$\overrightarrow{AP}$|²+|$\overrightarrow{BP}$|²+|$\overrightarrow{CP}$|² 有最小值為$12×\frac{1}{9}-\frac{8}{3}+6=\frac{14}{3}$，故命題④錯誤．
∴正確的命題是①③．
故答案為：①③．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，著重考查了向量的數量積公式及其運算性質、三角函數的圖象與性質、三角恒等變換公式和二次函數的性質等知識，屬于中檔題．