已知分別是橢圓的左、右頂點,點在橢圓上,且直線與直線的斜率之積為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)如圖,已知是橢圓上不同于頂點的兩點,直線與交于點,直線與交于點.① 求證:;② 若弦過橢圓的右焦點,求直線的方程.
(Ⅰ);(Ⅱ)①見解析;②.
解析試題分析:(Ⅰ)根據(jù)點在橢圓上,且直線與直線的斜率之積為,列出方程組即可求出和;(Ⅱ)①欲證:,只需證:,找到這個結(jié)論成立的條件,然后證明這些條件滿足即可;②分成和直線斜率存在兩種情況,利用經(jīng)過這一條件,把問題變成直線與橢圓的交點,從而可以借助一元二次方程跟與系數(shù)的關(guān)系解題.
試題解析:(Ⅰ)由題,,由點在橢圓上知,則有:
,①
又, ②
以上兩式可解得,.所以橢圓. 4分
(Ⅱ)① 設(shè),則直線:、直線:,
兩式聯(lián)立消去得:;
同理:直線:、:,聯(lián)立得:. 6分
欲證:,只需證:,只需證:,
等價于:,
而,,所以,
故有:. 9分
② (1)當(dāng)時,由可求得:; 10分
(2)當(dāng)直線斜率存在時,設(shè):,
由(Ⅱ)知:,
將,代入上式得:,
解得,由①知.
綜合(1) (1),,故直線:. 14分.
考點:直線與橢圓的方程.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓:的長軸長為4,且過點.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)、、是橢圓上的三點,若,點為線段的中點,、兩點的坐標(biāo)分別為、,求證:.
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已知為橢圓的左,右焦點,為橢圓上的動點,且的最大值為1,最小值為-2.
(I)求橢圓的方程;
(II)過點作不與軸垂直的直線交該橢圓于兩點,為橢圓的左頂點。試判斷的大小是否為定值,并說明理由.
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已知在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為:(為參數(shù)),在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系取相同的長度單位,且以原點為極點,以軸正半軸為極軸)中,直線的極坐標(biāo)方程為:.
(Ⅰ)寫出曲線和直線在直角坐標(biāo)系下的方程;
(II)設(shè)點是曲線上的一個動點,求它到直線的距離的最小值.
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橢圓的左、右焦點分別為F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),過F1作與x軸不重合的直線l交橢圓于A,B兩點.
(Ⅰ)若ΔABF2為正三角形,求橢圓的離心率;
(Ⅱ)若橢圓的離心率滿足,0為坐標(biāo)原點,求證為鈍角.
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在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓:的離心率,且橢圓C上一點到點Q的距離最大值為4,過點的直線交橢圓于點
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)P為橢圓上一點,且滿足(O為坐標(biāo)原點),當(dāng)時,求實數(shù)的取值范圍.
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如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的右焦點為,離心率為.
分別過,的兩條弦,相交于點(異于,兩點),且.
(1)求橢圓的方程;
(2)求證:直線,的斜率之和為定值.
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在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的左焦點為,左、右頂點分別為,上頂點為,過三點作圓
(Ⅰ)若線段是圓的直徑,求橢圓的離心率;
(Ⅱ)若圓的圓心在直線上,求橢圓的方程;
(Ⅲ)若直線交(Ⅱ)中橢圓于,交軸于,求的最大值
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已知圓圓動圓與圓外切并與圓內(nèi)切,圓心的軌跡為曲線.
(1)求的方程;
(2)是與圓,圓都相切的一條直線,與曲線交于兩點,當(dāng)圓的半徑最長時,求.
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