Question

過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點作斜率為

3

的直線與該拋物線交于A，B兩點，A，B在y軸上的正射影分別為D，C，若梯形ABCD的面積為10

3

，則p=

 

．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)出A，B的坐標(biāo)，依題意表示出焦點坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立消去y，利用韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，求得|x₁-x₂|，進(jìn)而求得|y₁-y₂|，最后利用梯形面積公式建立等式求得p．

解答： 解：拋物線方程為y²=2px，設(shè)A，B點坐標(biāo)分別為（x₁，y₁，），（x₂，y₂），
∴焦點F坐標(biāo)為（

p

2

，0），
∴直線AB的方程為y=

3

（x-

p

2

），
帶入拋物線方程得3x²-5px+

3p2

4

=0，
∴x₁+x₂=

5p

3

，x₁x₂=

p2

4

，
∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4p

3

，
∴|y₁-y₂|=

4 3

3

•p
則梯形ABCD的面積為

1

2

•（AD+BC）•CD=

1

2

（x₁+x₂）|y₁-y₂|=

1

2

•

5p

3

•

4 3 p

3

=10

3

，
∴p=3．
故答案為：3

點評：本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系．注重了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化和化歸的思想的運(yùn)用．