Question

已知R，函數(shù)e．
（1）若函數(shù)沒有零點，求實數(shù)的取值范圍；
（2）若函數(shù)存在極大值，并記為，求的表達式；
（3）當時，求證：．

Answer 1

（1）；（2）；（3）詳見試題解析．

解析試題分析：（1）令得，∴．再利用求實數(shù)的取值范圍；（2）先解，得可能的極值點或，再分討論得函數(shù)極大值的表達式；（3）當時，，要證 即證，亦即證，構造函數(shù)，利用導數(shù)證明不等式．
試題解析：(1)令得，∴．      1分
∵函數(shù)沒有零點，∴，∴．        3分
(2)，令，得或．   4分
當時，則，此時隨變化，的變化情況如下表：

當時，取得極大值；            6分
當時，在上為增函數(shù)，∴無極大值．      7分
當時，則，此時隨變化，的變化情況如下表:

當時，取得極大值，∴    9分
(3)證明：當時，             10分
要證 即證，即證      11分
令，則．            12分
∴當時，為增函數(shù)；當時為減函數(shù)，時取最小值，，∴．
∴，∴．               14分
考點：1．函數(shù)的零點；2．函數(shù)的導數(shù)與極值；3．不等式的證明．