Question

已知奇函數(shù)f（x）=

x+b

x2+a

的定義域?yàn)镽，f（1）=

1

2

．
（1）求實(shí)數(shù)a、b的值；
（2）證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上為增函數(shù)；
（3）判斷并證明f（x）的奇偶性．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）奇函數(shù)f（x）=

x+b

x2+a

的定義域?yàn)镽，由f（0）=0，可求b，利用f（1）=

1

2

，可求a；
（2）求函數(shù)f（x）=

x+b

x2+a

的導(dǎo)數(shù)，證明其導(dǎo)數(shù)大于0即可；
（3）驗(yàn)證f（-x）=-f（x）即可．

解答： （1）解：∵奇函數(shù)f（x）=

x+b

x2+a

的定義域?yàn)镽，
∴f（0）=0，
∴b=0，
∵f（1）=

1

2

，
∴

1

1+a

=

1

2

，
∴a=1；
（2）證明：∵f（x）=

x

x2+1

，
∴求導(dǎo)數(shù)f′（x）=

x2+1-2x

(x2+1)2

≥0，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上為增函數(shù)；
（3）解：奇函數(shù)，證明如下：
∵f（x）=

x

x2+1

，
∴f（-x）=-

x

x2+1

=-f（x），
∴函數(shù)是奇函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查奇偶性與單調(diào)性的綜合，考查對(duì)定義的理解與掌握，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．