Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）(A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)的圖象在y軸上的截距為1，它在y軸右側(cè)的第一個(gè)最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)分別為（x₀，2）和（x₀+π，-2）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若?m∈R，?x∈[-

π

3

，

π

3

]，使f(x)≤

m

2

-3m-2成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專(zhuān)題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由已知中函數(shù)圖象在y軸右側(cè)的第一個(gè)最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)分別為（x₀，2）和（x₀+π，-2）．易求出函數(shù)的最值及周期，進(jìn)而求出A，ω值，再由圖象在y軸上的截距為1，|ϕ|＜

π

2

，將（0，1）點(diǎn)代入可求出φ值，即可得到f（x）的解析式；
（2）通過(guò)x 的范圍求出函數(shù)的最大值，然后求解不等式的解集即可．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的圖象
在y軸右側(cè)的第一個(gè)最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)分別為（x₀，2）和（x₀+π，-2）．
∴T=2π，即ω=1，A=2，
∴f（x）=2sin（x+ϕ），
又∵函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜

π

2

）的圖象在y軸上的截距為1，
∴函數(shù)圖象過(guò)（0，1），
∴sinϕ=

1

2

，
∵|ϕ|＜

π

2

，
∴ϕ=

π

6

，
∴f（x）=2sin（x+

π

6

）；
（2）f（x）=2sin（x+

π

6

）在x∈[-

π

3

，

π

3

]時(shí)函數(shù)的最大值為：2．
∴2≤

m

2

-3m-2，
解得：m≥1或m≤-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的解析式的求法，其中根據(jù)已知求出函數(shù)的最值，周期，向左平移量，特殊點(diǎn)等，進(jìn)而求出A，ω，φ值，得到函數(shù)的解析式是解答本題的關(guān)鍵．