Question

已知函數(shù)f(x)=sin(

7π

6

-2x)-2sin2x+1(x∈R)，
（1）求函數(shù)f（x）的周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，三內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(A，

1

2

)，b，a，c成等差數(shù)列，且

AB

•

AC

=9，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（1）利用兩角和與差的三角函數(shù)以及二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，通過(guò)周期公式求函數(shù)f（x）的周期，利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間求解函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）通過(guò)函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(A，

1

2

)，b，a，c成等差數(shù)列，求出A以及列出abc的關(guān)系，利用

AB

•

AC

=9，求出bc的值，通過(guò)余弦定理求a的值．

解答： 解：f(x)=sin(

7π

6

-2x)-2sin2x+1=-

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+cos2x=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x=sin(2x+

π

6

)…（3分）
（1）最小正周期：T=

2π

2

=π，…（4分）
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)可解得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

(k∈Z)，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)；       …（6分）
（2）由f(A)=sin(2A+

π

6

)=

1

2

可得：2A+

π

6

=

π

6

+2kπ或

5π

6

+2kπ(k∈Z)
∴A=

π

3

，…（8分）
又∵b，a，c成等差數(shù)列，
∴2a=b+c，…（9分）
而

AB

•

AC

=bccosA=

1

2

bc=9，
∴bc=18    …（10分）
∴cosA=

1

2

=

(b+c)2-a2

2bc

-1=

4a2-a2

36

-1=

a2

12

-1，
∴a=3

2

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形的解法，兩角和與差的三角函數(shù)以及二倍角公式的應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，基本知識(shí)的考查．