Question

已知函數(shù)f(x)=(其中m、n、α、β∈R且α≠0)的圖象過點(diǎn)（0，-1），對稱中心是（1，1）.

（1）試確定f(x)的解析式.

（2）如果數(shù)列{a_n}滿足：a₁=3,a_n+1=f(a_n)(n∈N^*),求{a_n}的通項(xiàng)公式.

（3）試探求形如f(x)的有理函數(shù)g(x)（異于f(x)），使得當(dāng)數(shù)列{b_n}滿足：b₁=3,b_n+1=g(b_n)時(shí)，總有b_2n-1=a_2n-1(n∈N^*)，并寫出兩個(gè)符合條件的函數(shù).

Answer 1

解析：（1）∵f(x)的圖象過點(diǎn)（0，-1），

∴f(0)=-1.

    即=-1.     (1)    又f(x)=+圖象的對稱中心是（1，1）,

∴由(1)、(2)、(3)  得

    且滿足(4).∴f(x)=.

（2）∵a₁=3，∴a₂=f(a₁)=2，

    且a_n+2=f(a_n+1)===a_n……

a_n=

（3）∵a₁=3且a_2n-1=3，

    又b₁=3，要使b_2n-1=a_2n-1=3,則只要b_n+2=b_n即可.

    令g(x)=(其中：c、d、e、f∈R，e≠0)，

∵b_n+2=,

    令b_n+2=b_n則

    即

∴只要f=-c即可.

    如以下函數(shù)即符合條件：g₁(x)=，g₂(x)=.