Question

直線l：y=kx+1與雙曲線C：2x²-y²=1的右支交于不同的兩點(diǎn)A、B．
（I）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（II）是否存在實(shí)數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點(diǎn)F？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）將直線l的方程y=kx+1代入雙曲線C的方程2x²-y²=1后，由題意知，由此可知實(shí)數(shù)k的取值范圍．

（Ⅱ）設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），由題意得，由此入手可求出k的值．
解答：解：（Ⅰ）將直線l的方程y=kx+1代入雙曲線C的方程2x²-y²=1后，整理得（k²-2）x²+2kx+2=0．①
依題意，直線l與雙曲線C的右支交于不同兩點(diǎn)，故

解得k的取值范圍是-2＜k＜．
（Ⅱ）設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），則由①式得②
假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點(diǎn)F（c，0）．
則由FA⊥FB得：（x₁-c）（x₂-c）+y₁y₂=0．
即（x₁-c）（x₂-c）+（kx₁+1）（kx₂+1）=0．
整理得（k²+1）x₁x₂+（k-c）（x₁+x₂）+c²+1=0．③
把②式及代入③式化簡(jiǎn)得．
解得
可知使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線、雙曲線的方程和性質(zhì)，曲線與方程的關(guān)系，及其綜合應(yīng)用能力．