Question

已知定點F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)，動點P滿足條件：|

PF2

|-|

PF1

|=2，點P的軌跡是曲線E，直線l：y=kx-1與曲線E交于A、B兩點．如果|AB|=6

3

．
（Ⅰ）求直線l的方程；
（Ⅱ）若曲線E上存在點C，使

OA

+

OB

=m

OC

，求m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知，點P的軌跡是以F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)為焦點，c=

2

，a=1的雙曲線的左支，從而寫出曲線E的方程，再設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把y=kx-1代入雙曲線的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關系利用弦長公式即可求得k值，從而解決問題．
（Ⅱ）先設C（x₀，y₀），由已知條件中向量關系得到點C的坐標用m來表示的式子，將點C（x₀，y₀）的坐標代入雙曲線方程求得m的值即可．

解答：解：（Ⅰ）∵|

PF2

|-|

PF1

|=2＜F1F2=2

2

∴點P的軌跡是以F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)為焦點，c=

2

，a=1的雙曲線的左支，
∴曲線E的方程為x²-y²=1（x＜-1）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把y=kx-1代入x²-y²=1消去y得（1-k²）x²+2kx-2=0
∴△=4k2+8(1-k2)=8-4k2＞0，x1+x2=

2k

k2-1

＜0，x1•x2=

2

k2-1

＞0
∴|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

( 2k k2-1 )2-4• 2 k2-1

=6

3

兩邊平方整理得28k⁴-55k²+25=0，
∴k2=

5

7

，k2=

5

4

（∵-

2

＜k＜-1）
∴k=-

5

2

故直線方程為

5

2

x+y+1=0．
（Ⅱ）設C（x₀，y₀），由已知

OA

+

OB

=m

OC

，得（x₁+x₂，y₁+y₂）=（mx₀，my₀）
∴(x0，y0)=(

x1+x2

m

，

y1+y2

m

)，(m＞0)
∴x1+x2=

2k

k2-1

=-4

5

，y1+y2=k(x1+x2)-2=8
∴(x0，y0)=(

-4 5

m

，

8

m

)
將點C（x₀，y₀）的坐標代入x²-y²=1得

80

m2

-

64

m2

=1．
∴m=4或m=-4（舍去）．

點評：本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題、雙曲線定義的應用等基礎知識，考查運算求解能力． 當直線與圓錐曲線相交時，涉及弦長問題，常用“韋達定理法”設而不求計算弦長（即應用弦長公式）．