Question

直線l：y=kx+1與雙曲線c：3x²-y²=1相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）若以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，求直線l的方程；
（2）若A、B兩點(diǎn)在雙曲線的右支上，求直線l的傾斜角的范圍．

Answer 1

分析：（1）直線l：y=kx+1代入雙曲線c：3x²-y²=1，消去y得（3-k²）x²-2kx-2=0，利用以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，可得x₁x₂+y₁y₂=0，根據(jù)韋達(dá)定理，即可求出直線l的方程；
（2）A、B兩點(diǎn)在雙曲線的右支上，則x₁x₂=-

2

3-k2

＜0且3-k²≠0，求出k的范圍，即可求直線l的傾斜角的范圍．

解答：解：（1）直線l：y=kx+1代入雙曲線c：3x²-y²=1，消去y得（3-k²）x²-2kx-2=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

2k

3-k2

，x₁x₂=-

2

3-k2

，
∵以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）=0，
∴（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0，
∴-（1+k²）•

2

3-k2

+k•

2k

3-k2

+1=0，
∴k=±1，
∴直線l的方程為y=±x+1；
（2）∵A．B在雙曲線的左右兩支上，
∴x₁x₂=-

2

3-k2

＜0且3-k²≠0，
解得-

3

＜k＜

3

，
∴直線l的傾斜角的范圍為[0，

π

3

）∪（

2π

3

，π）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．