Question

【題目】設(shè)M=10a2+81a+207，P=a+2，Q=26﹣2a，若將lgM，lgQ，lgP適當排序后可構(gòu)成公差為1的等差數(shù)列{an}的前三項． （Ⅰ）求a的值及{an}的通項公式；
（Ⅱ）記函數(shù) 的圖像在x軸上截得的線段長為bn ， 設(shè) ，求Tn ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）依題意有﹣2＜a＜13， ∵M﹣P=10a2+80a+205＞0，M﹣Q=10a2+83a+181＞0，
∴M最大．
又P﹣Q=﹣24+3a，
當﹣2＜a＜8時，P＜Q，lgP+1=lgQ．
∴10P=Q，
∴ ，此時M＞Q＞P，且滿足lgM=1+lgQ．
∴ 符合題意．
當8＜a＜13時，P＞Q，lgP=1+lgQ．
∴10Q=P，
∴ ．
但此時不滿足lgM=1+lgP．
∴ ．
∴{an}的前三項為lgP，lgQ，lgM，此時 ．
∴an=lgP+（n﹣1）×1=n﹣2lg2．
（Ⅱ）∵2an+1=an+an+2
∴x=﹣1是函數(shù) 的零點
即f（x）=0時，（x+1）（anx+an+2）=0
∴ ，||bn=|x1﹣x2|=
又∵an=n﹣2lg2＞0，
∴ ，
∴ ．
∴
=
=
【解析】（Ⅰ）依題意有﹣2＜a＜13，利用作差法可比較M，P，Q中M最大，而P，Q的大小需要根據(jù)a的范圍來確定，結(jié)合等差數(shù)列及對數(shù)的運算性質(zhì)可求出滿足題意的a及通項（Ⅱ）由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，2an+1=an+an+2 ， 由f（x）=0時，（x+1）（anx+an+2）=0，從而可求得 ，結(jié)合an=n﹣2lg2＞0，可得bn ， 然后代入，利用裂項求和即可
【考點精析】認真審題，首先需要了解數(shù)列的前n項和(數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系)，還要掌握等差數(shù)列的性質(zhì)(在等差數(shù)列{an}中，從第2項起，每一項是它相鄰二項的等差中項；相隔等距離的項組成的數(shù)列是等差數(shù)列)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．