Question

7．如圖，$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上任一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為橢圓的左、右焦點(diǎn)，求|PF₁|的 最大值和最小值．

Answer 1

分析 設(shè)橢圓的焦距為2c，即有c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$，設(shè)出左焦點(diǎn)和左準(zhǔn)線(xiàn)，運(yùn)用橢圓的第二定義，可得|PF₁|=ed，再由橢圓的范圍，即可得到最值．

解答 解：設(shè)橢圓的焦距為2c，
即有c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$，
設(shè)左焦點(diǎn)為（-c，0），左準(zhǔn)線(xiàn)為x=-$\frac{{a}^{2}}{c}$，
離心率e=$\frac{c}{a}$，
即有|PF₁|=ed（d為左焦點(diǎn)到左準(zhǔn)線(xiàn)的距離）
=$\frac{c}{a}$（x_P+$\frac{{a}^{2}}{c}$）=a+$\frac{c}{a}$•x_P，
當(dāng)x_P=a時(shí)取得最大值a+c，即a+$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$；
當(dāng)x_P=-a時(shí)取得最小值a-c，即a-$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)，考查橢圓的范圍及運(yùn)用，注意焦半徑公式的運(yùn)用，屬于中檔題．