Question

12．如圖所示，以原點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓的半徑分別為3和1，過(guò)原點(diǎn)O的射線交大圓于點(diǎn)P，交小圓于點(diǎn)Q，P在y軸上的射影為M，動(dòng)點(diǎn)N滿足$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{PN}$且$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{QN}$=0．
（1）求點(diǎn)N的軌跡方程；
（2）過(guò)點(diǎn)A（0，3）作斜率分別為k₁，k₂的直線l₁，l₂與點(diǎn)N的軌跡分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，k₁•k₂=-9，求證：直線EF過(guò)定點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)N（x，y），P（3cosθ，3sinθ），Q（cosθ，sinθ），則M（0，3sinθ），求得向量PM，PN，QN的坐標(biāo)，再由數(shù)量積的坐標(biāo)公式和向量垂直的條件，化簡(jiǎn)運(yùn)用平方關(guān)系，即可得到N的軌跡方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)A（0，3）的直線l₁的方程為y=k₁（x-1），代入橢圓方程，消去y，再由韋達(dá)定理，即可求得E的坐標(biāo)，再由k₁•k₂=-9，設(shè)出l₂的方程為y=k₂（x-1），k₁換成-$\frac{9}{{k}_{1}}$，即可得到N的坐標(biāo)，進(jìn)而判斷直線EF恒過(guò)定點(diǎn)（0，0）．

解答 （1）解：設(shè)N（x，y），P（3cosθ，3sinθ），Q（cosθ，sinθ），
則M（0，3sinθ），$\overrightarrow{PM}$=（-3cosθ，0），$\overrightarrow{PN}$=（x-3cosθ，y-3sinθ），$\overrightarrow{QN}$=（x-cosθ，y-sinθ），
由于$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{PN}$，則-3cosθ（y-3sinθ）=0，即有y=3sinθ ①
$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{QN}$=0，則-3cosθ（x-cosθ）=0，即有x=cosθ  ②
由①②，消去θ，得$\frac{{y}^{2}}{9}$+x²=1，
則有點(diǎn)N的軌跡方程為$\frac{{y}^{2}}{9}$+x²=1；
（2）證明：設(shè)過(guò)點(diǎn)A（0，3）的直線l₁的方程為y=k₁x+3，
代入橢圓方程，消去y，得（9+k₁²）x²+6k₁x=0，
由于A在橢圓上，則x_E=$\frac{-6{k}_{1}}{9+{{k}_{1}}^{2}}$，y_E=k₁x_E+3=$\frac{27-3{{k}_{1}}^{2}}{9+{{k}_{1}}^{2}}$，
則E（$\frac{-6{k}_{1}}{9+{{k}_{1}}^{2}}$，$\frac{27-3{{k}_{1}}^{2}}{9+{{k}_{1}}^{2}}$）
由于l₂的方程為y=k₂x+3，且k₁•k₂=-9，
代入橢圓方程，則將上面的k₁換成-$\frac{9}{{k}_{1}}$，有F（$\frac{6{k}_{1}}{9+{{k}_{1}}^{2}}$，$\frac{3{{k}_{1}}^{2}-27}{9+{{k}_{1}}^{2}}$）．
則有E，F(xiàn)兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
連接EF，必過(guò)原點(diǎn)（0，0）．
故直線EF恒過(guò)定點(diǎn)（0，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和向量垂直的條件，考查軌跡方程的求法，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查直線恒過(guò)定點(diǎn)的求法，屬于中檔題．