【題目】已知常數(shù),數(shù)列的前n項和為,.

1)求數(shù)列的通項公式;

2)若,且數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列,求實數(shù)a的取值范圍;

3)若,,對于任意給定的正整數(shù)k,是否都存在正整數(shù)p、q,使得?若存在,試求出p、q的一組值(不論有多少組,只要求出一組即可);若不存在,請說明理由.

【答案】123)存在滿足要求的pq,且有一組值為

【解析】

(1)利用關(guān)系結(jié)合題目條件消去,得到的遞推關(guān)系,從而求出的通項公式.
(2) 數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列,則恒成立,從而得到,再分的奇偶性討論求解,從而得到答案.
(3)由(1,可化為,得,令,可得答案.

解:(1)∵

相減得

其中

為定值

是以2為首項為公差的等差數(shù)列

方法二:∵

其中

為定值

是以2為首項a為公差的等差數(shù)列

2)由是單調(diào)遞增數(shù)列

n為正奇數(shù)

n為正奇數(shù)時恒成立

設(shè)

方法二:則

它在時為正,在為負(fù)

n為正偶數(shù)

n為正偶數(shù)時恒成立

設(shè)

方法二:則

綜合1°2°

3)由(1)得

可化為

方法一:即

任意給定的正整數(shù),為正整數(shù),則

(或令,或交換前兩組p,q的值,能夠確定的有四組)

∴存在滿足要求的p,q,且有一組值為

方法二:即

(或令,或交換前兩組p,q的值,共能確定四組)

∴存在滿足要求的p,q,且有一組值為

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【題目】已知四棱錐的底面是菱形.

1)若,求證:平面;

2分別是,上的點,若平面,求的值;

3)若,平面平面,,判斷是否為等腰三角形?并說明理由.

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【題目】如圖,在三棱柱中,、分別是、的中點.

)證明:平面

)若這個三棱柱的底面是等邊三角形,側(cè)面都是正方形,求二面角的余弦值.

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【題目】為了引導(dǎo)居民合理用水,某市決定全面實施階梯水價.階梯水價原則上以住宅(一套住宅為一戶)的月用水量為基準(zhǔn)定價,具體劃分標(biāo)準(zhǔn)如表:

階梯級別

第一階梯水量

第二階梯水量

第三階梯水量

月用水量范圍(單位:立方米)

從本市隨機(jī)抽取了10戶家庭,統(tǒng)計了同一月份的月用水量,得到如圖莖葉圖:

(Ⅰ)現(xiàn)要在這10戶家庭中任意選取3戶,求取到第二階梯水量的戶數(shù)X的分布列與數(shù)學(xué)期望;

(Ⅱ)用抽到的10戶家庭作為樣本估計全市的居民用水情況,從全市依次隨機(jī)抽取10戶,若抽到戶月用水量為一階的可能性最大,求的值.

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【題目】已知函數(shù),.

(Ⅰ)若直線與曲線相切于點,證明:

(Ⅱ)若不等式有且僅有兩個整數(shù)解,求的取值范圍.

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【題目】已知橢圓上一點與兩焦點構(gòu)成的三角形的周長為,離心率為 .

(1)求橢圓的方程;

(2)設(shè)橢圓C的右頂點和上頂點分別為AB,斜率為的直線l與橢圓C交于P、Q兩點(點P在第一象限).若四邊形APBQ面積為,求直線l的方程.

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【題目】設(shè)A,B分別為雙曲線 (a>0,b>0)的左、右頂點,雙曲線的實軸長為4,焦點到漸近線的距離為.

(1)求雙曲線的方程;

(2)已知直線yx-2與雙曲線的右支交于M,N兩點,且在雙曲線的右支上存在點D,使,求t的值及點D的坐標(biāo).

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