Question

已知函數(shù)f(x)=

ax

x2+b

，在x=1處取得極值2．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）m滿(mǎn)足什么條件時(shí)，區(qū)間（m，2m+1）為函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間？
（Ⅲ）設(shè)直線(xiàn)l為曲線(xiàn)f(x)=

ax

x2+b

的切線(xiàn)，求直線(xiàn)l的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，由函數(shù)在x=1處取得極值，知當(dāng)x=1時(shí)導(dǎo)數(shù)等于0，又因?yàn)闃O值為2，所以當(dāng)x=2時(shí)函數(shù)值等于2，這樣就可求出a，b的值．
（Ⅱ）要使區(qū)間（m，2m+1）為函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間，則區(qū)間（m，2m+1）為函數(shù)f（x）的增區(qū)間的子區(qū)間，先利用導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間，再比較（m，2m+1）區(qū)間端點(diǎn)與函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間區(qū)間端點(diǎn)的大小即可．
（Ⅲ）因?yàn)榍�線(xiàn)的切線(xiàn)的斜率就是函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，所以要求切線(xiàn)斜率的范圍，就是求曲線(xiàn)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的范圍．求導(dǎo)，在借助二次函數(shù)求出范圍即可．

解答：解：（Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=

ax

x2+b

，∴f′(x)=

a(x2+b)-ax(2x)

(x2+b)2

．
又函數(shù)f（x）在x=1處取得極值2，∴

f′(1)=0 f(1)=2

即

a(1+b)-2a=0 a 1+b =2

⇒

a=4 b=1.

當(dāng)a=4，b=1，∴f′(x)=

4(x2+1)-4x(2x)

(x2+1)2

=

4(1-x2)

(x2+1)2

，
當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，f'（x）＞0，x＞1時(shí)，f'（x）＜0，∴f（x）在x=1處取得極值．∴f(x)=

4x

x2+1

．
（Ⅱ）由f′(x)=

4(x2+1)-4x(2x)

(x2+1)2

=0⇒x=±1．

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	極小值-2	↗	極大值2	↘

所以f(x)=

4x

x2+1

的單調(diào)增區(qū)間為[-1，1]．
若（m，2m+1）為函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間，則有

m≥-1 2m+1≤1 2m+1＞m

解得-1＜m≤0．
即m∈（-1，0]時(shí)，（m，2m+1）為函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
（Ⅲ）∵f(x)=

4x

x2+1

，∴f′(x)=

4(x2+1)-4x(2x)

(x2+1)2

．
設(shè)切點(diǎn)為P（x₀，y₀），則直線(xiàn)l的斜率為k=f′(x0)=

4(x02+1)-8x02

(x02+1)2

=4[

2

(x02+1)2

-

1

x02+1

]．
令

1

x02+1

=t，  t∈(0，  1]，則直線(xiàn)l的斜率k=4（2t²-t），t∈（0，1]，∴k∈[-

1

2

，  4]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)應(yīng)用求極值，單調(diào)區(qū)間，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用．