Question

【題目】在平面直角坐標系中，以坐標原點為中心，以坐標軸為對稱軸的橢圓C經過點M(2，1)，N(，-).

(1)求橢圓C的標準方程;

(2)經過點M作傾斜角互補的兩條直線，分別與橢圓C相交于異于M點的A，B兩點，求直線AB的斜率.

Answer 1

【答案】(1);(2)

【解析】

（1）設橢圓的方程為，將兩點代入得到關于的方程組，解出方程組即可得橢圓的標準方程；

（2）設直線，，的斜率分別為，直線的方程為，傾斜角互補等同于，聯(lián)立直線與橢圓的方程結合韋達定理，代入中化簡可得，進而可得結果.

（1）設橢圓的方程為

∵點和在橢圓上

∴，解得

∴橢圓的方程為.

（2）∵點為橢圓上異于的兩點，且直線，的傾斜角互補，

∴直線，，的斜率存在，設它們的斜率分別為

設，，直線的方程為，

∴，

∴，

由，消去，得

由，得，

∴

∴

∴

∴

∴或，

∵點為橢圓上異于的兩點

∴當時，直線的方程為，不合題意，舍去

∴直線的斜率為.