Question

【題目】己知定義在上的函數(shù)的單增區(qū)間為，且圖象過點.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）對任意的，存在常數(shù)使得成立，求整數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）或0.

【解析】

（1）根據(jù)單調(diào)區(qū)間求出，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象過解出即可求解.

（2）（法1）令，條件等價于對任意的，存在常數(shù)使得成立，只需，設(shè)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，討論的取值范圍，求出函數(shù)的最小值，即，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可的最大值，

（法2）令，根據(jù)題意條件等價于對任意的，存在常數(shù)使得成立，函數(shù)在上的最大值不小于，根據(jù)的單調(diào)性即可求出最大值為，從而只需條件等價于對任意的，，只需即可.

（1）由題知，解得，

因為二次函數(shù)的圖象過點，所以，解得，

所以；

（2）（法1）令，則題目中條件等價于對任意的，

存在常數(shù)使得成立，

也就是等價于關(guān)于t的函數(shù)在上的最小值不小于.

下面求函數(shù)在上的最小值.

當(dāng)，即時，；

當(dāng)，即時，；

記函數(shù)在上的最小值為，

則，

于是原命題就等價于：存在常數(shù)，使得成立，

即等價于關(guān)于m的函數(shù)的最大值不小于即可，

因為函數(shù)在上是單調(diào)遞減的，所以，

所以，解得，又，所以或0.

（法2）令，則題目中條件等價于對任意的，

存在常數(shù)使得成立，

也就是等價于關(guān)于m的函數(shù)在上的最大值不小于.

因為，所以函數(shù)在上單減，

因此，即，

則題目中條件等價于對任意的，，

即函數(shù)在上的最小值不小于.

又，，

所以，

解得，又，

所以或0.