Question

已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側棱PD⊥平面ABCD，且PD=2，O為底面對角線的交點，E、F分別為棱PB，PC的中點
（1）求證：EO∥平面PDC；
（2）求證：DF⊥平面PBC；
（3）求點C到平面PAB的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（1）利用三角形中位線的性質，可得OE∥PD，利用線面平行的判定定理，可得EO∥平面PDC；
（2）證明BC⊥DF，DF⊥PC，即可證明DF⊥平面PBC；
（3）由V_P-ABC=V_C-PAB，可求點C到平面PAB的距離．

解答： （1）證明：∵O為底面對角線的交點，
∴O是BD的中點，
∵E為棱PB的中點，
∴OE∥PD，
∵OE?平面PDC，PD?平面PDC，
∴EO∥平面PDC；
（2）證明：∵側棱PD⊥平面ABCDBC?平面ABCD，
∴PD⊥BC，
∵BC⊥CD，PD∩CD=D，
∴BC⊥平面PDC，
∵DF?平面PDC，
∴BC⊥DF，
∵PD=DC，F(xiàn)為棱PC的中點，
∴DF⊥PC，
∵BC∩PC=C，
∴DF⊥平面PBC；
（3）解：設點C到平面PAB的距離為h，則
Rt△PAB中，PA=2

2

，AB=2，PA⊥AB，∴S_△PAB=

1

2

•2

2

•2=2

2

，
由V_P-ABC=V_C-PAB，可得

1

3

•2

2

h=

1

3

•

1

2

•2•2•2，∴h=

2

．

點評：本題考查直線與平面平行、直線與平面垂直的判定，考查等體積的運用，考查學生分析解決問題的能力，正確運用判定定理是關鍵．