Question

已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)棱PD⊥平面ABCD，且PD=2，O為底面對(duì)角線的交點(diǎn)，E、F分別為棱PB，PC的中點(diǎn)
（1）求證：EO∥平面PDC；
（2）求證：DF⊥平面PBC；
（3）求點(diǎn)C到平面PAB的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）利用三角形中位線的性質(zhì)，可得OE∥PD，利用線面平行的判定定理，可得EO∥平面PDC；
（2）證明BC⊥DF，DF⊥PC，即可證明DF⊥平面PBC；
（3）由V_P-ABC=V_C-PAB，可求點(diǎn)C到平面PAB的距離．

解答： （1）證明：∵O為底面對(duì)角線的交點(diǎn)，
∴O是BD的中點(diǎn)，
∵E為棱PB的中點(diǎn)，
∴OE∥PD，
∵OE?平面PDC，PD?平面PDC，
∴EO∥平面PDC；
（2）證明：∵側(cè)棱PD⊥平面ABCDBC?平面ABCD，
∴PD⊥BC，
∵BC⊥CD，PD∩CD=D，
∴BC⊥平面PDC，
∵DF?平面PDC，
∴BC⊥DF，
∵PD=DC，F(xiàn)為棱PC的中點(diǎn)，
∴DF⊥PC，
∵BC∩PC=C，
∴DF⊥平面PBC；
（3）解：設(shè)點(diǎn)C到平面PAB的距離為h，則
Rt△PAB中，PA=2

2

，AB=2，PA⊥AB，∴S_△PAB=

1

2

•2

2

•2=2

2

，
由V_P-ABC=V_C-PAB，可得

1

3

•2

2

h=

1

3

•

1

2

•2•2•2，∴h=

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行、直線與平面垂直的判定，考查等體積的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確運(yùn)用判定定理是關(guān)鍵．