Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=4x﹣22x+1﹣6，其中x∈[0，3]．
（1）求函數(shù)f（x）的最大值和最小值；
（2）若實(shí)數(shù)a滿足：f（x）﹣a≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（1）∵f（x）=4x﹣22x+1﹣6（0≤x≤3）
∴f（x）=（2x）2﹣42x﹣6（0≤x≤3）
令t=2x ，
∵0≤x≤3，
∴1≤t≤8．
令h（t）=t2﹣4t﹣6=（t﹣2）2﹣10（1≤t≤8）
當(dāng)t∈[1，2]時(shí)，h（t）是減函數(shù)；當(dāng)t∈[2，8]時(shí)，h（t）是增函數(shù)．
∴f（x）min=h（2）=﹣10，f（x）max=h（8）=26
（2）∵f（x）﹣a≥0恒成立，即a≤f（x）恒成立．
∴a≤f（x）min恒成立．
由（1）知f（x）min=﹣10，
∴a≤﹣10．
故a的取值范圍為（﹣∞，﹣10]
【解析】（1）由題意可得，f（x）=（2x）2﹣42x﹣6（0≤x≤3），令t=2x ， 從而可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在區(qū)間[1，8]上的最值的求解
（2）由題意可得，a≤f（x）恒成立a≤f（x）min恒成立，結(jié)合（1）可求