Question

【題目】已知圓的方程為，若拋物線過點，且以圓0的切線為準線，為拋物線的焦點，點的軌跡為曲線.

(1)求曲線的方程;

(2)過點作直線交曲線與兩點，關于軸對稱，請問:直線是否過軸上的定點，如果不過請說明理由，如果過定點，請求出定點的坐標

Answer 1

【答案】（1）（2）直線過軸上的定點

【解析】分析：設直線和圓相切與點，過分別向直線m作垂線，垂足分別為，則

，由拋物線定義可知，，所以，由橢圓的定義可知，點F的軌跡為以為焦點，以4為長軸的橢圓，則曲線的方程可求；

(2)設，則直線的方程為

令y=0，，

設直線L：，

則（*） 聯(lián)立直線和橢圓方程，

可得的表達式，代入（*）式得：，即可證明直線過軸上的定點.

詳解：

(1)設直線和圓相切與點，過分別向直線m作垂線，垂足分別為，則

，由拋物線定義可知，，所以，由橢圓的定義可知，點F的軌跡為以為焦點，以4為長軸的橢圓，方程為.

(2)設，則直線的方程為

令y=0，，

設直線L：，

則（*） 聯(lián)立直線和橢圓方程，

則，代入（*）式得：,所以直線過軸上的定點.