Question

已知f（x）=2x²+lnx-ax，若對?x₁，x₂∈（0，1），且x₁≠x₂，都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0 為真命題，則實數(shù)a的取值范圍

 

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Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：由條件推出函數(shù)為增函數(shù)，先求出導函數(shù)，然后將函數(shù)f（x）是單調(diào)遞增函數(shù)，轉(zhuǎn)化成f′（x）≥0在（0，1）上恒成立，將a分離出來，利用基本不等式求出另一側(cè)的最值，即可求出所求．

解答： 解：∵f（x）滿足對?x₁，x₂∈（0，1），且x₁≠x₂，都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0 為真命題，則數(shù)f（x）是單調(diào)遞增函數(shù)，
∵f（x）=2x²+lnx-ax，
∴f′（x）=4x-a+

1

x

∵函數(shù)f（x）是單調(diào)遞增函數(shù)，
∴f′（x）=4x-a+

1

x

≥0在（0，1）上恒成立
即a≤4x+

1

x

在（0，+∞）上恒成立
而x∈（0，+∞）時4x+

1

x

≥2

4x• 1 x

=4
∴a≤4，
故答案為：a≤4．

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應用和判斷，根據(jù)函數(shù)導數(shù)和單調(diào)性之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)恒成立即可得到結(jié)論．