【題目】如圖所示，在四棱錐中，平面平面，底面是正方形，且， .

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）.

【解析】試題分析：

(Ⅰ)利用面面垂直的性質(zhì)定理可得平面.據(jù)此有，結(jié)合可得平面.最后利用面面垂直的判定定理可得平面平面.

(Ⅱ)取的中點為， 的中點為，連接，以的方向分別為軸， 軸， 軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，據(jù)此可得平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，據(jù)此計算可得二面角的余弦值為.

法2：若以為原點，建立空間直角坐標(biāo)，則面的法向量面的法向量，計算可得為鈍角，則余弦值為.

試題解析：

（Ⅰ）證明：∵底面為正方形，∴.

又∵平面平面，∴平面.

又∵平面，∴.

∵， ，∴平面.

∵平面，∴平面平面.

（Ⅱ）取的中點為， 的中點為，連接

易得底面，

以為原點，以的方向分別為軸， 軸， 軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，不妨設(shè)正方形的邊長為2，可得， ， ，

設(shè)平面的一個法向量為

而，

即

取得

設(shè)平面的一個法向量為

而，

則即取得

由圖知所求二面角為鈍角

故二面角的余弦值為.

法2：若以為原點，建立空間直角坐標(biāo)，如圖，

不妨設(shè)正方形的邊長為2

可得面的法向量

面的法向量

由圖可得為鈍角

∴余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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（1）已知10名學(xué)生的平均成績?yōu)?8，計算其中位數(shù)和方差；

（2）已知全市學(xué)生學(xué)習(xí)成績分布服從正態(tài)分布，某校實驗班學(xué)生30人.

①依據(jù)（1）的結(jié)果，試估計該班學(xué)業(yè)水平測試成績在的學(xué)生人數(shù)（結(jié)果四舍五入取整數(shù)）；

②為參加學(xué)校舉行的數(shù)學(xué)知識競賽，該班決定推薦成績在的學(xué)生參加預(yù)選賽若每個學(xué)生通過預(yù)選賽的概率為，用隨機(jī)變量表示通過預(yù)選賽的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

正態(tài)分布參考數(shù)據(jù)：

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