【題目】為了迎接青奧會(huì)，南京將在主干道統(tǒng)一安裝某種新型節(jié)能路燈，該路燈由燈柱和支架組成．在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，支架ACB是拋物線(xiàn)y2=2x的一部分，燈柱CD經(jīng)過(guò)該拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F且與路面垂直，其中C在拋物線(xiàn)上，B為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，DH表示道路路面，BF∥DH，A為錐形燈罩的頂，燈罩軸線(xiàn)與拋物線(xiàn)在A處的切線(xiàn)垂直．安裝時(shí)要求錐形燈罩的頂?shù)綗糁木嚯x是1.5米，燈罩的軸線(xiàn)正好通過(guò)道路路面的中線(xiàn)．

（1）求燈罩軸線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程；
（2）若路寬為10米，求燈柱的高．

【答案】
（1）解：由題意知，BF= ，則xA=1.5+ =2，

代入y2=2x得yA=2，故A（2，2）．

設(shè)點(diǎn)A處的切線(xiàn)方程為y﹣2=k（x﹣2），

代入拋物線(xiàn)方程y2=2x消去x，得ky2﹣2y+4﹣4k=0．

則△=4﹣4k（4﹣4k）=0，解得k= ．

故燈罩軸線(xiàn)的斜率為﹣2，其方程為y﹣2=﹣2（x﹣2），即y=﹣2x+6


（2）解：由于路寬為10，則當(dāng)x= 時(shí)，y=﹣5，從而FD=5．

又CF=1，則CD=6．

答：燈柱的高為6米


【解析】（1）求出A的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)A處的切線(xiàn)方程，代入拋物線(xiàn)方程，求出斜率，即可得出燈罩軸線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程；（2）求出FD，利用CF，可求燈柱的高．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用的相關(guān)知識(shí)，掌握用基本不等式求最值時(shí)（積定和最小，和定積最大），要注意滿(mǎn)足三個(gè)條件“一正、二定、三相等”．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=2 sin（x+ ）cos（x+ ）+sin2x+a的最大值為1．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）將f（x）的圖象向左平移 個(gè)單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，若方程g（x）=m在x∈[0， ]上有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在四邊形ABCD中，已知 ∥ ， =（6，1）， =（x，y）， =（﹣2，﹣3）．
（1）求用x表示y的關(guān)系式；
（2）若 ⊥ ，求x、y值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)y=f（x），若同時(shí)滿(mǎn)足下列條件：
①f（x）在D內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減；
②存在區(qū)間[a，b]D，使f（x）在[a，b]上的值域?yàn)閇a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫閉函數(shù)．
（1）求閉函數(shù)y=﹣x3符合條件②的區(qū)間[a，b]
（2）判斷函數(shù)f（x）= 是否為閉函數(shù)？并說(shuō)明理由；
（3）若y=k+ 是閉函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)的是（ ）
A.f（x）=
B.f（x）=log2x
C.f（x）=（ ）x
D.f（x）=﹣x2+2

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】函數(shù)f（x）=log （2x﹣x2）的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）
A.（0，2）
B.（﹣∞，1]
C.[1，2）
D.（0，1]

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓 =1（a＞b＞0）的離心率為 ．A為橢圓上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，點(diǎn)P滿(mǎn)足 = ，

（1）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2， ），求橢圓的方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)P的一條直線(xiàn)交橢圓于B，C兩點(diǎn)，且 =m ，直線(xiàn)OA，OB的斜率之積﹣ ，求實(shí)數(shù)m的值；
（3）在（1）的條件下，是否存在定圓M，使得過(guò)圓M上任意一點(diǎn)T都能作出該橢圓的兩條切線(xiàn)，且這兩條切線(xiàn)互相垂直？若存在，求出定圓M；若不存在，說(shuō)明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（1，0），B（1，4），C（3，2），直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（0，4）．
（1）判斷△ABC的形狀；
（2）求△ABC外接圓M的方程；
（3）若直線(xiàn)l與圓M相交于P，Q兩點(diǎn)，且PQ=2 ，求直線(xiàn)l的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，經(jīng)過(guò)B（1，2）作兩條互相垂直的直線(xiàn)l1和l2 ， l1交y軸正半軸于點(diǎn)A，l2交x軸正半軸于點(diǎn)C．

（1）若A（0，1），求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）試問(wèn)是否總存在經(jīng)過(guò)O，A，B，C四點(diǎn)的圓？若存在，求出半徑最小的圓的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案