Question

設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，對任意的n∈N，都有S_n=（m+1）-ma_n（m為常數(shù)，且m＞0）．
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比q與m函數(shù)關(guān)系為q=f（m），數(shù)列{b_n}滿足b₁=2a₁，點(diǎn)（b_n-1，b_n）落在q=f（m）上（n≥2，n∈N，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）在滿足（2）的條件下，求數(shù)列{

2n+1

bn

}的前n項(xiàng)和T_n，使T_n≤n•2ⁿ⁺²+λ恒成立時，求λ的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）易求a₁=1，當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=ma_n-1-ma_n，整理得（1+m）a_n=ma_n-1．由等比數(shù)列的定義可得結(jié)論；
（2）由題意得bn=f(bn-1)=

bn-1

1+bn-1

，兩邊取倒數(shù)得

1

bn

=

1

bn-1

+1，即

1

bn

-

1

bn-1

=1（n≥2），由此判斷{

1

bn

}是等差數(shù)列，可求

1

bn

，進(jìn)而得到b_n．
（3）由（2）可求

2n+1

bn

=2ⁿ•（2n-1），利用錯位相減法可求得T_n，則T_n≤n•2ⁿ⁺²+λ可化為λ≥6-3•2ⁿ⁺¹恒成立，進(jìn)而化為求6-3•2ⁿ⁺¹的最大值，由單調(diào)性易得；

解答： （1）證明：當(dāng)n=1時，a₁=S₁=（m+1）-ma₁，解得a₁=1．
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=ma_n-1-ma_n，即（1+m）a_n=ma_n-1．
∵m為常數(shù)，且m＞0，∴

an

an-1

=

m

1+m

（n≥2）． 
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為

m

1+m

的等比數(shù)列．   
（2）解：由（1）得，q=f（m）=

m

1+m

，b₁=2a₁=2．
∵bn=f(bn-1)=

bn-1

1+bn-1

，
∴

1

bn

=

1

bn-1

+1，即

1

bn

-

1

bn-1

=1（n≥2）．
∴{

1

bn

}是首項(xiàng)為

1

2

，公差為1的等差數(shù)列．  
∴

1

bn

=

1

2

+(n-1)•1=

2n-1

2

，即bn=

2

2n-1

（n∈N^*）．  
（3）解：由（2）知bn=

2

2n-1

，則

2n+1

bn

=2n(2n-1)． 
∴Tn=

22

b1

+

23

b2

+

24

b3

+…+

2n

bn-1

+

2n+1

bn

，即T_n=2¹×1+2²×3+2³×5+…+2^n-1×（2n-3）+2ⁿ×（2n-1），①
2Tn=22×1+23×3+24×5+…+2n×(2n-3)+2n+1×(2n-1)，②
②-①得Tn=2n+1×(2n-1)-2-23-24-…-2n+1，
故Tn=2n+1×(2n-1)-2-

23(1-2n-1)

1-2

=2n+1×(2n-3)+6．
Tn≤n•2n+2+λ，化簡得λ≥6-3•2ⁿ⁺¹恒成立，
由單調(diào)性知當(dāng)n=1時，右邊最大，
∴λ≥-6，λ最小值為-6．

點(diǎn)評：該題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列求和等知識，考查恒成立問題，錯位相減法對數(shù)列求和是高考考查的重要內(nèi)容，要熟練掌握．