Question

已知矩陣A=

1 2 -2 -3

，B=

0 1 1 -2

．
（Ⅰ）求A^-1以及滿足AX=B的矩陣X．
（Ⅱ）求曲線C：x²-4xy+y²=1在矩陣B所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下得到的曲線C′的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：變換、矩陣的相等,特征值與特征向量的計(jì)算

專題：選作題,矩陣和變換

分析：（Ⅰ）根據(jù)所給的矩陣求這個(gè)矩陣的逆矩陣，可以首先求出ad-bc的值，再代入逆矩陣的公式，求出結(jié)果．
（Ⅱ）確定變換前后坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用曲線C：x²-4xy+y²=1，可求在矩陣B所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下得到的曲線C′的方程．

解答： 解：（I）∵|A|=1≠0，故A-1=

-3 -2 2 1

，…（4分）
∴X=A-1B=

-3 -2 2 1

0 1 1 -2

=

-2 1 1 0

．…（7分）
（II）矩陣B所對(duì)應(yīng)的線性變換為

x′=y y′=x-2y

，∴

x=2x′+y′ y=x′

，…（9分）
代入x²-4xy+y²=1得：-3x'²+y'²=1…（12分）
即所求曲線C'的方程為：3x²-y²+1=0…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查矩陣變換的應(yīng)用，考查逆矩陣的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．