【題目】如圖,在四棱錐中,側(cè)面是等邊三角形,且平面平面,為的中點(diǎn),,,.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)直線上是否存在點(diǎn),使得平面?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.
【答案】(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ)(Ⅲ)存在點(diǎn), .
【解析】
(Ⅰ)取中點(diǎn),結(jié)合三角形中位線和長度關(guān)系,可證得且,得到四邊形為平行四邊形,進(jìn)而得到,根據(jù)線面平行判定定理可證得結(jié)論;
(Ⅱ)取中點(diǎn),由面面垂直性質(zhì)可知平面,由此可建立空間直角坐標(biāo)系;分別求得兩面的法向量,求得法向量夾角的余弦值;根據(jù)二面角為銳角確定最終二面角的余弦值;
(Ⅲ)設(shè),利用空間向量表示出,由線面平行可知與平面的法向量垂直,即,構(gòu)造方程求得,從而得到結(jié)論.
(Ⅰ)取中點(diǎn),連結(jié)
為中點(diǎn), ,
又, 且
四邊形為平行四邊形
平面,平面
平面
(Ⅱ)取中點(diǎn),連結(jié),
為等邊三角形
平面平面,平面平面 平面
, 四邊形為平行四邊形
如圖建立空間直角坐標(biāo)系,
則
,
設(shè)平面的一個(gè)法向量為
則,即,令,則,
顯然,平面的一個(gè)法向量為,
所以.
二面角為銳角 二面角的余弦值為
(Ⅲ)直線上存在點(diǎn),使得平面.理由如下:
設(shè) ,
,
平面 平面時(shí),
即,解得:
直線上存在點(diǎn),使得平面,此時(shí)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲,乙兩人進(jìn)行射擊比賽,各射擊局,每局射擊次,射擊中目標(biāo)得分,未命中目標(biāo)得分,兩人局的得分情況如下:
甲 | ||||
乙 |
(1)若從甲的局比賽中,隨機(jī)選取局,求這局的得分恰好相等的概率;
(2)從甲,乙兩人的局比賽中隨機(jī)各選取局,記這局的得分和為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)不等式mx2-2x-m+1<0對于滿足|m|≤2的一切m的值都成立,求x的取值范圍.
【答案】
【解析】
令f(m)=m(x2﹣1)﹣2x+1,由條件f(m)<0對滿足|m|≤2的一切m的值都成立,利用一次函數(shù)的單調(diào)性可得:f(﹣2)<0,f(2)<0.解出即可.
令f(m)=m(x2﹣1)﹣2x+1,由條件f(m)<0對滿足|m|≤2的一切m的值都成立,
則需要f(﹣2)<0,f(2)<0.
解不等式組,解得,
∴x的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】
本題考查了一次函數(shù)的單調(diào)性、一元二次不等式的解法,考查了轉(zhuǎn)化方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.
【題型】解答題
【結(jié)束】
21
【題目】某廠有一批長為18m的條形鋼板,可以割成1.8m和1.5m長的零件.它們的加工費(fèi)分別為每個(gè)1元和0.6元.售價(jià)分別為20元和15元,總加工費(fèi)要求不超過8元.問如何下料能獲得最大利潤.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)3個(gè)不同的球放入5個(gè)不同的盒子,每個(gè)盒子至多放1個(gè)球,共有多少種放法?
(2)3個(gè)不同的球放入5個(gè)不同的盒子,每個(gè)盒子放球量不限,共有多少種放法?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,正視圖為等腰直角三角形,俯視圖中虛線平分矩形的面積,則該幾何體的體積為_____,其外接球的表面積為______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為,離心率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線與橢園C交于,兩點(diǎn),直線與線的斜率之積為,證明:直線過定點(diǎn),并求的面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)P為雙曲線上任一點(diǎn),,則以為直徑的圓與以雙曲線實(shí)軸長為直徑的圓( )
A.相切B.相交C.相離D.內(nèi)含
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