如圖，△ABC中，O為外心，三條高AD、BE、CF交于點(diǎn)H，直線ED和AB交于點(diǎn)M，F(xiàn)D和AC交于點(diǎn)N．求證：OB⊥DF．
考點(diǎn)：圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)與判定
專題：立體幾何
分析：由AD、BE、CF分別是△ABC的高，可得A、C、D、F四點(diǎn)共圓，AC為直徑，進(jìn)而由圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)得到∠BDF=∠BAC，由O為△ABC外心，可得∠OBC=
1
2
（180°-∠BOC）=90°-∠BAC=90°-∠FDB，進(jìn)而得到結(jié)論．
解答： 解：∵AD、BE、CF分別是△ABC的高，
∴∠AFC=∠ADC=90°，
∴A、C、D、F四點(diǎn)共圓，AC為直徑，

∴∠BDF=∠BAC，
又∠OBC=
1
2
（180°-∠BOC）=90°-∠BAC=90°-∠FDB，
即∠OBC+∠FDB=90°，
∴OB⊥DF．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定，其中分析出A、C、D、F四點(diǎn)共圓，是解答的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，A，B，C是圓O上三個(gè)點(diǎn)，AD是∠BAC的平分線，交圓O于D，過B做直線BE交AD延長線于E，使BD平分∠EBC．
（1）求證：BE是圓O的切線；
（2）若AE=6，AB=4，BD=3，求DE的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ln|x|，（x≠0），函數(shù)g（x）=
1
f′(x)
+af′（x），a∈R．
（1）求函數(shù)y=g（x）的表達(dá)式和單調(diào)區(qū)間；
（2）若a＞0，函數(shù)y=g（x）在（0，+∞）上的最小值是2，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)P：指數(shù)函數(shù)y=ax在x∈R內(nèi)單調(diào)遞減；Q：曲線y=x2+（2a-3）x+1與x軸交于不同的兩點(diǎn)．如果P為真，Q為假，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知平面向量
a
=（
3
，1），
b
=（
1
2
，
3
2
）．若存在不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)k和t，使
x
=
a
+（t2-3）
b
，
y
=-k
a
+t
b
且
x
⊥
y
．
（1）試求函數(shù)關(guān)系式k=f（t）；
（2）若t∈（0，+∞）時(shí)，不等式k≥
1
2
t2+
1
4
mt恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠CDA=∠DAB=90°，PD⊥底面ABCD，PD=AD，CD=1，AB=2，E是PB中點(diǎn)，點(diǎn)E在平面ACP上的射影是△ACP
的重心G．
（1）求PB與平面ACP所成角的正弦值；
（2）求二面角B-AC-E的平面角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知方程x2-（bcosB）x+acosA=0的兩根之積等于兩根之和，其中a、b為△ABC的兩邊，A、B為兩內(nèi)角，試判斷三角形形狀．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若曲線y=xsinx在點(diǎn)（0，0）處的切線是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖是一個(gè)正方體的表面展開圖，A、B、C均為棱的中點(diǎn)，D是頂點(diǎn)，則在正方體中，異面直線AB和CD的夾角的余弦值為
 
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案