【題目】四棱錐中,底面
是邊長為
的菱形,側(cè)面
底面
,
,
,
是
中點,點
在側(cè)棱
上.
(Ⅰ)求證: ;
(Ⅱ)若是
中點,求二面角
的余弦值;
(Ⅲ)是否存在,使
平面
?若存在,求出
的值;若不存在,說明理由.
【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ).(Ⅲ)
.
【解析】試題分析:(Ⅰ)證明AD⊥平面POB,即可證明AD⊥PB;(Ⅱ)證明PO⊥底面ABCD,建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面DEQ的法向量,平面DQC的法向量,利用向量的夾角公式,即可求得結(jié)論;(Ⅲ)求出平面DEQ法向量,利用PA∥平面DEQ,即,從而可得結(jié)論.
解析:
(Ⅰ)取中點
,連接
.
因為,所以
.
因為菱形中,
,所以
.
所以.
因為,且
平面
,所以
平面
.
所以.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知, ,
因為側(cè)面底面
,且平面
底面
,所以
底面
.
以為坐標(biāo)原點,如圖建立空間直角坐標(biāo)系
.
則,因為
為
中點,所以
.
所以,所以平面
的法向量為
.
因為,設(shè)平面
的法向量為
,
則,即
.
令,則
,即
.
所以.
由圖可知,二面角為銳角,所以余弦值為
.
(Ⅲ)設(shè)
由(Ⅱ)可知.
設(shè),則
,
又因為,所以
,即
.
所以在平面中,
,
所以平面的法向量為
,
又因為平面
,所以
,
即,解得
.
所以當(dāng)時,
平面
.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將一鐵塊高溫融化后制成一張厚度忽略不計、面積為100dm2的矩形薄鐵皮(如圖),并沿虛線l1,l2裁剪成A,B,C三個矩形(B,C全等),用來制成一個柱體.現(xiàn)有兩種方案:
方案①:以為母線,將A作為圓柱的側(cè)面展開圖,并從B,C中各裁剪出一個圓形作為圓柱的兩個底面;
方案②:以為側(cè)棱,將A作為正四棱柱的側(cè)面展開圖,并從B,C中各裁剪出一個正方形(各邊分別與
或
垂直)作為正四棱柱的兩個底面.
(1)設(shè)B,C都是正方形,且其內(nèi)切圓恰為按方案①制成的圓柱的底面,求底面半徑;
(2)設(shè)的長為
dm,則當(dāng)
為多少時,能使按方案②制成的正四棱柱的體積最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左,右頂點分別為
右焦點為
,直線
是橢圓
在點
處的切線.設(shè)點
是橢圓
上異于
的動點,直線
與直線
的交點為
,且當(dāng)
時,
是等腰三角形.
(Ⅰ)求橢圓的離心率;
(Ⅱ)設(shè)橢圓的長軸長等于
,當(dāng)點
運動時,試判斷以
為直徑的圓與直線
的位置關(guān)系,并加以證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司欲生產(chǎn)一款迎春工藝品回饋消費者,工藝品的平面設(shè)計如圖所示,該工藝品由直角和以
為直徑的半圓拼接而成,點
為半圈上一點(異于
,
),點
在線段
上,且滿足
.已知
,
,設(shè)
.
(1)為了使工藝禮品達(dá)到最佳觀賞效果,需滿足,且
達(dá)到最大.當(dāng)
為何值時,工藝禮品達(dá)到最佳觀賞效果;
(2)為了工藝禮品達(dá)到最佳穩(wěn)定性便于收藏,需滿足,且
達(dá)到最大.當(dāng)
為何值時,
取得最大值,并求該最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知一條動直線3(m+1)x+(m-1)y-6m-2=0,
(1)求證:直線恒過定點,并求出定點P的坐標(biāo);
(2)若直線與x、y軸的正半軸分別交于A,B兩點,O為坐標(biāo)原點,是否存在直線滿足下列條件:①△AOB的周長為12;②△AOB的面積為6,若存在,求出方程;若不存在,請說明理由.
(3)若直線與x、y軸的正半軸分別交于A,B兩點,當(dāng)取最小值時,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分14分)
已知函數(shù)(
為常數(shù))的圖像與
軸交于點
,曲線
在點
處的切線斜率為
.
(1)求的值及函數(shù)
的極值;
(2)證明:當(dāng)時,
(3)證明:對任意給定的正數(shù),總存在
,使得當(dāng)
時,恒有
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是函數(shù)的部分圖象,M,N是它與x軸的兩個不同交點,D是M,N之間的最高點且橫坐標(biāo)為
,點
是線段DM的中點.
(1)求函數(shù)的解析式及
上的單調(diào)增區(qū)間;
(2)若時,函數(shù)
的最小值為
,求實數(shù)a的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】經(jīng)過長期觀察得到:在交通繁忙的時段內(nèi),某公路汽車的車流量(千輛/小時)與汽車的平均速度
(千米/小時)之間的函數(shù)關(guān)系為
(1)在該時段內(nèi),當(dāng)汽車的平均速度為多少時,車流量最大,最大車流量為多少?(精確到0.1千輛/小時)
(2)若要求在該時段內(nèi)車流量超過10千輛/小時,則汽車的平均速度應(yīng)在什么范圍內(nèi)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
(Ⅰ)當(dāng)時,求函數(shù)
的單調(diào)遞減區(qū)間;
(Ⅱ)若時,關(guān)于
的不等式
恒成立,求實數(shù)
的取值范圍;
(Ⅲ)若數(shù)列滿足
,
,記
的前
項和為
,求證:
.
【答案】(I);(II)
;(III)證明見解析.
【解析】試題分析:(Ⅰ)求出,在定義域內(nèi),分別令
求得
的范圍,可得函數(shù)
增區(qū)間,
求得
的范圍,可得函數(shù)
的減區(qū)間;(Ⅱ)當(dāng)
時,因為
,所以
顯然不成立,先證明因此
時,
在
上恒成立,再證明當(dāng)
時不滿足題意,從而可得結(jié)果;(III)先求出等差數(shù)列的前
項和為
,結(jié)合(II)可得
,各式相加即可得結(jié)論.
試題解析:(Ⅰ)由,得
.所以
令,解得
或
(舍去),所以函數(shù)
的單調(diào)遞減區(qū)間為
.
(Ⅱ)由得,
當(dāng)時,因為
,所以
顯然不成立,因此
.
令,則
,令
,得
.
當(dāng)時,
,
,∴
,所以
,即有
.
因此時,
在
上恒成立.
②當(dāng)時,
,
在
上為減函數(shù),在
上為增函數(shù),
∴,不滿足題意.
綜上,不等式在
上恒成立時,實數(shù)
的取值范圍是
.
(III)證明:由知數(shù)列
是
的等差數(shù)列,所以
所以
由(Ⅱ)得, 在
上恒成立.
所以. 將以上各式左右兩邊分別相加,得
.因為
所以
所以.
【題型】解答題
【結(jié)束】
22
【題目】已知直線, (
為參數(shù),
為傾斜角).以坐標(biāo)原點為極點,
軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線
的直角坐標(biāo)方程為
.
(Ⅰ)將曲線的直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)設(shè)點的直角坐標(biāo)為
,直線
與曲線
的交點為
、
,求
的取值范圍.
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