Question

設函數f(x)=|x²-4x-5|.

(1)在區(qū)間［-2,6］上畫出函數f(x)的圖像(如圖)；

(2)設集合A={x|f(x)≥5},B=(-∞,-2］∪［0,4］∪［6,+∞).試判斷集合A和B之間的關系，并給出證明；

(3)當k＞2時，求證：在區(qū)間［-1,5］上，y=kx+3k的圖像位于函數f(x)圖像的上方.

Answer 1

思路分析：(1)可以利用對稱變換作圖法或將函數的解析式化為分段函數；(2)利用圖像解不等式f(x)≥5；應用定義證明集合A和B之間的關系；(3)轉化為證明：當k＞2時，在x∈［-1,5］上，kx+3k-f(x)＞0恒成立即可.

解：(1)f(x)=|x²-4x-5|=其圖像如圖所示.

(2)方程f(x)=5的解分別是x=2,0,4，2+，觀察(1)圖，

可得f(x)≥5的解是x≤2，或0≤x≤4，或x≥2+.

則A={x|x≤2，或0≤x≤4，或x≥2+}.

∵2+＜6，2＞-2,

∴BA.

(3)當x∈［-1,5］時，f(x)=-x²+4x+5.設g(x)=kx+3k-f(x)，

則g(x)=kx+3k-(-x²+4x+5)=x²+(k-4)x+(3k-5)=(x)².∵k＞2,∴＜1.又-1≤x≤5，

①當-1≤＜1，即2＜k≤6時，取x=，

g(x)_min=［(k-10)²-64］.

∵16≤(k-10)²＜64,∴(k-10)²-64＜0.則g(x)_min＞0.

②當＜-1，即k＞6時，取x=-1，g(x)_min=2k＞0.

由①②，可知當k＞2時，在x∈［-1,5］上，g(x)＞0.

因此，在區(qū)間［-1,5］上，y=k(x+3)的圖像位于函數f(x)圖像的上方.