Question

已知

a

=（sinα，1），

b

=（cosα，2），α∈（0，

π

4

）．
（1）若

a

•

b

=

17

8

，求sinα-cosα的值；
（2）若

a

∥

b

，又β為銳角，且tanβ=

1

3

，求α+β的值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正切函數(shù),平行向量與共線向量,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,兩角和與差的正弦函數(shù),二倍角的余弦

專題：三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由條件利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式、兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，求出sinα-csα 的值．
（2）由條件利用兩個(gè)向量平行的性質(zhì)求出 tanα=

1

2

，可得tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

的值，結(jié)合 α+β 的范圍，求得 α+β 的值．

解答： 解：（1）由題意可得

a

•

b

=sinαcosα+2=

17

8

，即 2sinαcosα=

1

4

．
又 sin²α+cos²α=1，∴（sinα-cosα）²=1-2sinαcosα=1-

1

4

=

3

4

．
而 α∈(0，

π

4

)，∴sinα＜cosα，∴sinα-csα=-

3

2

．
（2）若

a

∥

b

，則2sinα-cosα=0，∴tanα=

1

2

．
又β為銳角，且tanβ=

1

3

，∴β∈（0，

π

4

），∴tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

1 2 + 1 3

1- 1 2 × 1 3

=1．
再結(jié)合 α+β∈（0，

π

2

），可得 α+β=

π

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式、兩個(gè)向量平行、垂直的性質(zhì)，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于中檔題．