Question

若雙曲線的兩軸長與其焦距組成等差數(shù)列，則其離心率的取值集合是

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)雙曲線的兩軸長與其焦距組成等差數(shù)列，分類討論，找出a，c的關系，即可求出離心率的取值集合．

解答： 解：若2b=a+c，則平方4b²=a²+2ac+c²，
∴4（c²-a²）=a²+2ac+c²，
∴3c²-2ac-5a²=0，
∴（3c-5a）（c+a）=0，
∴3c=5a，
∴e=

c

a

=

5

3

；
若2a=b+c，即b=2a-c，平方b²=4a²-4ac+c²，
∴c²-a²=4a²-4ac+c²，
∴5a=4c，
∴e=

c

a

=

5

4

，
∴其離心率的取值集合是{

5

3

，

5

4

}．
故答案為：{

5

3

，

5

4

}．

點評：本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查學生的計算能力，屬于中檔題．