Question

（理）已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA₁=4，D是棱AA₁的中點(diǎn)．如圖所示．
（1）求證：DC₁⊥平面BCD；
（2）求二面角A-BD-C的大小．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能夠證明DC₁⊥平面BDC．
（2）分別求出平面ABD的法向量和平面DBC的法向量，利用向量法能求出二面角A-BD-C的大小．

解答： （理）（1）證明：按如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系．
由題意知C（0，0，0）、A（2，0，0）、B（0，2，0）、
D（2，0，2）、A₁（2，0，4）、C₁（0，0，4）．
∴

DC1

=（-2，0，2），

DC

=(-2，0，-2)，

DB

=(-2，2，-2)．
∵

DC1

•

DC

=0，

DC1

•

DB

=0．
∴DC₁⊥DC，DC₁⊥DB．
又∵DC∩DB=D，
∴DC₁⊥平面BDC．
（2）解：設(shè)

n

=(x，y，z)是平面ABD的法向量．
則

n

•

AB

=0，

n

•

AD

=0，
又

AB

=(-2，2，0)，

AD

=(0，0，2)，
∴

-2x+2y=0 2z=0

，取y=1，得

n

=（1，1，0）．
由（1）知，

DC1

=（-2，0，2）是平面DBC的一個(gè)法向量，
記

n

與

DC1

的夾角為θ，
則cosθ=

-2

2 •2 2

=-

1

2

，
結(jié)合三棱柱可知，二面角A-BD-C是銳角，
∴所求二面角A-BD-C的大小是

π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．